3.5 等比数列的前n项和2
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课 题：3.5 等比数列的前n 项和（二）
教学目的：
1.会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的
q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题
2.提高分析、解决问题能力.
教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.
教学难点：灵活使用公式解决问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， 1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠
3．｛n a ｝成等比数列⇔n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.
6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;
当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;
9．等比数列的前n 项和公式：
∴当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.
10．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，
①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列.
②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列
二、例题讲解
例1 已知等差数列{n a }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{n a }中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第n
2项按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的通项公式和前项和公式n S 解：∵ ⎩⎨⎧=+=+185451081
1d a d a , 解得1a ＝5, d ＝3, ∴ n a ＝3n ＋2, n b ＝n a 2＝3×n
2＋2,
n S ＝(3×2＋2)＋ (3×22＋2)＋ (3×32＋2)＋……＋(3×n 2＋2) ＝3·1
2)12(2--n ＋2n ＝7·n 2－6.（分组求和法） 例2 设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nx x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和 解：（用错项相消法）
1324321-+++++=n n nx x x x S ①
()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ②
①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ，
当1≠x 时，
()n n n nx x x S x ---=-111x nx nx x n n n -+--=+111()x
nx x n n n -++-=+1111
()()21
111x nx x n S n n n -++-=+
当1=x 时，()2
14321n n n S n +=++++= 例3等比数列{}n a 前n 项和与积分别为S 和T ，数列⎭⎬⎫⎩⎨
⎧n a 1的前n 项和为'S ， 求证：n
S S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛='2 证：当1=q 时，1na S =，n a T 1=，1
'a n S =
， ∴221111T a a n na S S n n n ==⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，（成立） 当1≠q 时，
∵()()()
()1111,,1111111'12111--=--==--=-----q q a q q q a S q a T q q a S n n n n n n ， ∴()()22
1211121'T q a q a S S n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎪⎭⎫ ⎝⎛--，
（成立）
综上所述：命题成立
例4设首项为正数的等比数列，它的前n 项之和为80，前n 2项之和为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列
解：由题意 ()()()
()81821265601118011211=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⇒=--=--n n n n
q q q q a q q a 代入（1）， ()
()q q a n -=-18011，得：011>-=q a ，从而1>q ， ∴{}n a 递增，∴前n 项中数值最大的项应为第n 项 ∴=-11n q a ()=-=---111n n n q q q q ,54811=--n q ∴3,27548111===-=--n n
n q
q q q ， ∴21311=-=-=q a ，
∴此数列为 162,54,18,6,2
例5求和：（x +)1()1()122n n y
x y x y +++++ （其中x ≠0，x ≠1，y ≠1） 分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.
解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时，
（x +)1()1()122n n y
x y x y +++++ )111()(22n n y
y y x x x +++++++= y
y y x x x n n 11)11(11)1(--+--=n n n n y y y x x x --+--=++1111
三、练习：
设数列{}n a 前n 项之和为n S ，若2,121==S S 且
()202311≥=+--+n S S S n n n ，问：数列{}n a 成等比数列吗？ 解：∵02311=+--+n n n S S S ，
∴()()0211=----+n n n n S S S S ，即021=-+n n a a
即：21=+n
n a a ()2≥n ，∴{}n a 成等比数列()2≥n 又：2,
1,11212211≠=-===a a S S a S a ， ∴{}n a 不成等比数列，但当()2≥n 时成()2≥n ，
即：()()⎩⎨⎧≥==-22111n n a n n 四、小结 本节课学习了以下内容：熟练求和公式的应用
五、课后作业： 1、三数成等比数列，若将第三数减去32，则成等差数列，若将该等差数列中项减去4，以成等比数列，求原三数（2，10，50或9
38,926,92） 2、一个等比数列前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求n S 3（63） 3、在等比数列中，已知：36,463==S a ，求n a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+1271n 六、板书设计（略）
七、课后记：。
