七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

第7讲 因式分解（一）提公因式法、公式法一、 知识要点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。

注：因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止。

因式分解是恒等变形，不能随意把多项式改变原来的大小。

2、提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++多项式中的公因式：数字部分找最大公约数，字母部分找相同的字母和最低次幂3、公式法：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-特点：①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或某式的平方形式；③分解的结果是这两个数或两个式子的和与它们差的积；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。

（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=+特点：①左边相当于一个二次三项式；②首末两项符号为正且能写成某数或某式的完全平方形式；③中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号可正可负；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。

二、知识运用经典例题例1、多项式232118xy axy a xy -+-中的公因式是例2、已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是1(21)()4x x -+，求m ，n 的值。

例3、把下列各式分解因式（1）、2963x x y x z -+（2）、2210515x y xy xy --+（3）、()()()()xx y a b yy x b a ----- （4）、)2()37)(2(b a a b a b a +--+例4、计算201320142014201420132013⨯-⨯例5、把下列各式分解因式（1）211625m - （2）2()1a b +-（3）22(2)16(1)x x -++- （4）21236m n -+（5） 2244x xy y ++ （6）22293m mnn ++三、知识运用课堂训练1、下列各式能用平方差公式分解的是（ ）A 、22m n --B 、2219p q + C 、321649y x -D 、224k h -+2、下列各式是完全平方式的是（ ）A 、214m m ++ B 、22x xy y ++ C 、21x x +- D 、22h d +3、下列多项式能用公式法分解的是（ ）A.22x y --B.232a ab b -+C. 524x y -D. 2210.049y x -4、把多项式22155x y -分解因式是 。

专题3.1 因式分解-因式分解概念及提取公因式（知识讲解）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和m m为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、 （2012·浙江杭州市·七年级期中）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）221()()1x y x y x y -+=+-+；（2）2(2)(1)2x x x x -+=--；（3）232632x y xy xy =⋅；（4）22()()()(1)x y y x a x y a -+-=--；（5）29696x y xy y xy x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．【分析】（1）根据等式右边()()1x y x y +-+不符合因式分解的定义即可得；（2）根据等式右边22x x --不符合因式分解的定义即可得；（3）根据等式左边236x y 不符合因式分解的定义即可得；（4）根据因式分解的定义即可得；（5）根据等式右边96xy x x ⎛⎫++⎪⎝⎭不符合因式分解的定义即可得． 【详解】因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解（1）不是因式分解，因为()()1x y x y +-+是和的形式；（2）不是因式分解，因为22x x --是和的形式；（3）不是因式分解，因为236x y 是单项式；（4）是因式分解，因为多项式2()()x y y x a -+-分解成两个整式x y -与21a -的积的形式，符合因式分解的定义；（5）不是因式分解，因为96xy x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中的9x 不是整式． 【点拨】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．举一反三：【变式】 （2018·全国七年级课时练习）判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a ＋3b)(a －3b)； (2)3y(x ＋2y)＝3xy ＋6y2；(3)(3a －1)2＝9a2－6a ＋1； (4)4y2＋12y ＋9＝(2y ＋3)2；(5)x2＋x ＝x2(1+1x )； (6)x2－y2＋4y －4＝(x －y)(x ＋y)＋4(y －1)．【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【解析】【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.【详解】(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋1x)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．类型二、提公因式法分解因式2、（2020·广西钦州市高新区实验学校八年级月考）把下列各式因式分解：（1）xy ay by +- （2）()()32x a b y b a ---【答案】（1）()y x a b +-；（2）()()32a b x y -+；【分析】（1） 提取公因式y ，即可得到答案；（2）先把原式化为：()()32x a b y a b -+-，再提取公因式-a b ，即可得到答案； 解：（1）xy ay by +-()y x a b =+-（2）()()32x a b y b a ---()()32x a b y a b =-+-()()32a b x y =-+举一反三：【变式】 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）()()242252y x x y -+-【答案】()()245025y x y x -+-【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．原式()()242252y x y x =-+- ()()24252y x y x =-+-⎡⎤⎣⎦()()245025y x y x =-+-【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．类型三、提公因式法分解因式的应用5、 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）先分解因式，再求值：()()()()23271127x x x x --+--，其中1x =．【答案】()()()2735x x x --+，48【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可．解：()()()()23271127x x x x --+--()()()()23271127x x x x =--+--()()()273211x x x =---+⎡⎤⎣⎦()()()2735x x x =--+；当1x =时，原式()()()121735=-⨯-⨯+()()168=-⨯-⨯48=．【点拨】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键． 举一反三：【变式】（2021·河南·八年级期末）已知2ab =，3a b -=-，则2332a b a b -的值为（ ）A ．12-B ．12C ．6-D ．6 【答案】B【分析】把2332a b a b -因式分解，再整体代入即可．解：233222()a b a b a b b a -=-，∵2ab =，3a b -=-，原式=223⨯=12，故选：B ．【点拨】本题考查了因式分解和代数式求值，先把多项式因式分解，再整体代入是解题关键．。

湘教版数学七年级下册知识点归纳初中数学七年级下册知识点归纳（湘教版）第一章二元一次方程1.二元一次方程是含有两个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程。

2.由两个含有相同未知数的二元一次方程（或一个二元一次方程和一个一元一次方程）联立起来组成的方程组叫做二元一次方程组。

3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程左、右两边的值都相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。

4.代入消元法，即由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有另一未知数的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。

5.加减消元法，即当两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。

6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找等量关系。

第二章整式的乘法7.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即an.am=am+n(m,n是正整数)。

8.幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(an)m=amn(m,n是正整数)。

9.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即(ab)n=anbn(n是正整数)。

10.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。

11.单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即a（m+n）=am+an。

12.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn。

13.平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

即（a+b）（a-b）=a2-b2.14.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

即（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.15.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2=（a-b）2+4ab,（a-b）2=（a+b）2-4ab。

湘教版七年级第三章因式分解 知识点小结
一、 因式的定义：一般地，对于两个多项式f 和g ，如果有多项式h 使得f=gh ，那么我们把g 叫作f 的一个因式。

h 也是f 的一个因式。

二、因式分解的定义：把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。

因式分解与整式乘法是互逆的关系
因式分解
多项式 整式×整式
整式乘法
注意：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等。

三、公因式的定义：几个多项式的公共的因式称为它们的公因式。

四、找公因式的步骤：
1、先确定公因式的系数：各项系数的最大公约数
2、再确定字母及字母的指数：各项中都含有的字母，字母的指数应取它们在各项中次数最低的。

五、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式。

注：在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止。

六、公式法：
1、平方差公式：)(a b -a 22b a b -+=）（
用平方差公式分解因式的特点：①只有两项；②每一项都能写成平方的形式
2、完全平方公式：222b a b ab 2a ）（+=++
222b -a b 2ab -a ）（=+
七、因式分解的一般步骤：
1、若有公因式，先提公因式。

2、若没有公因式，只有两项则用平方差公式，三项则用完全平方公式。

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)&#6150 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。