人教A版高中数学选修1-1 3.1.1 变化率和导数的概念 教案
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3.1.1 变化率和导数的概念
一、教学目标：
1.知识与技能：
（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；
（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；
2. 过程与方法
通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法；
3. 情态与价值观
经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。
体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。
二、教学重点.难点
重点：导数的概念；
难点：导数的概念；
三、学情分析
学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．
四、教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
五、教学过程
新课引入
利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。
导数是微积分的核心概念之一。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。
引出学习本章的意义及重要性。
设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。
六、自主学习
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0
101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴x
x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x
x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：
x
x f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度
(2) 位移的平均变化率：t
t s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，
t
t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬
速度
求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆
2.再求平均速度t
s v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，
t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 4.速度的平均变化率：t
t v t t v ∆-∆+)()(00 5.瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，
t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
典型例题：
例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.
分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2, 再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x
∆→∆=∆ 解：法一（略）； 法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x
∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'
(6)f
根据导数定义，0(2)()f x f x f x x
+∆-∆=∆∆22(2)7(2)15(27215)3x x x x +∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00
(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆；同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．
注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．
17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。
由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率。
实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。
下面我们来看一个导数的应用。
五、当堂检测
1．将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
如果在第x h 时候，原油温度（单位：c ︒）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤。
（1）计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。
（2）计算第3h 和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。
2．已知一个物体运动的位移（m ）与时间t （s ）满足关系S （t ）＝-2t 2+5t
（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。
（2）求物体在t 时刻的瞬时速度。
（3）求物体t 时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？
设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思。
