(完整版)高考二次函数

二次函数知识梳理知识点1 二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ ___.②顶点式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)_____ __.③零点式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_______________ _.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a>0 定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0 a<0y∈[4ac－b24a，＋∞)y∈(－∞，4ac－b24a]a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x＝－b2a；3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |. 知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞U 。

知识点3 一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令()f x =2ax bx c ++（0a >）（同理讨论0a <的结论）(1) x 1<α, x 2<α ,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪-<⎨⎪>⎩; (2) x 1>α, x 2>α,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪->⎨⎪>⎩(3) α<x 1<β, α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4) x 1<α, x 2>β (α<β),则()0()0f f αβ<⎧⎨<⎩(5）若f(x)=0在区间( α ,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.知识点4 二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值一般分为三种情况讨论：（1）若对称轴2bx a=-在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴2bx a=-在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（3）若对称轴2b x a =-在区间内，则()2bf a-是函数的最小值（0a >）或最大值（0a <），再比较(),()f p f q 的大小决定函数的最大（小）值。

点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。

（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值的讨论的基点是对称轴abx 2-=与区间[]q p ,的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。

特别要注意二次项系数a 的符号对抛物线开口及结论的影响。

题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.变式训练1：已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。

（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。

题型二二次函数中的单调性例2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.变式训练2：（1）.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为__________（2）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f (－1＋x)＝f (－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.题型三二次函数在闭区间上的最值例3（1）设函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。

（2）已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值。

（3）已知31≤a≤1，若f(x)=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)，① 求g(a)的函数表达式； ② 判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。

变式训练3：（1）已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个 最大值－5，求a 的值.（2）已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________.(3) 设x 、y 是关于m 的方程m 2－2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）2+（y －1）2的最小值是（ ） A.－1241 B.18 C.8 D.43 题型四 二次函数中的恒成立的问题例4若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.变式训练4：(1)已知2()2(2)4f x x a x =+-+，① 如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； ②如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．(2)已知二次函数2()f x ax x =+（a ∈R ，a ≠0）．如果x ∈[0，1]时，总有|()f x |1≤．试求a 的取值范围．题型五 二次函数与方程例5已知二次函数c bx ax x f ++=2)(（1）若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x 轴有2个交点;（2） 在(1)的条件下,是否存在m∈R,使池f(m)= - a 成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由. （3）若对121212,,<,()()x x R x x f x f x ∈≠且,121()=[()+()]2f x f x f x 方程有2个不等实根,证明必有一个根属于12(,)x x例6 二次函数21y ax x =++ (0)a >的零点分别为12,.x x（1）证明12(1)(1)1;x x +⋅+= （2）证明121,1;x x <-<-（3）若12,x x 满足不等式|lg 21x x |≤1，试求a 的取值范围.例7 已知二次函数.92)1(42)(22++---=a a x a x x f（1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m ，使得0)(>m f ，求实数a 的取值范围； （2）若对区间[-1，1]内的一切实数m 都有0)(>m f ，求实数a 的取值范围。

题型六 二次函数与不等式例8已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．（1）求函数g (x )的解析式； （2）解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|； （3）若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．变式训练6：设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；一、选择题1.设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是 ( )2.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是 ( ) A.m ＝－2B.m ＝2C.m ＝－1D.m ＝13.已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋c )x ＋1 (a ≠0)是偶函数，其定义域为[a －c ，b ]，则点(a ，b )的轨迹是( )A.线段B.直线的一部分C.点D.圆锥曲线4.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是 ( )A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0,2] 5.已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( ) A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(－∞，0)6.函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( ) A.a >23B.12<a <32C.a >12D.a <12二、填空题7.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝______. 8.若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝______. 9.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________. 10.若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是_________ 11.若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是_________.12.方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m的取值范围是______________.13.若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________.14.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为_________.三、解答题15.是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.16.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx (a，b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n (m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.。