高考数学理一轮突破热点题型第6章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域[例1] (2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12[自主解答] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，当M 与C 重合时，直线OM 斜率最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得C (3，－1)，所以直线OM 斜率的最小值为k OC ＝－13.[答案] C【互动探究】在本例条件下，若P (0，－3)，求|PM |的最小值．解：|PM |的最小值为点P 到直线x ＋2y －1＝0的距离d ＝|0－6－1|1＋4＝75＝755.【方法规律】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，求k 的值．解：由图可知，线性规划区域为△ABC 边界及内部．y ＝kx ＋43恰过A ⎝⎛⎭⎫0，43， y ＝kx ＋43将区域平均分成面积相等的两部分，∴直线y ＝kx ＋43一定过线段BC 的中点D ，易求C (0,4)，B (1,1)，∴线段BC 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52.因此52＝k ×12＋43，k ＝73.高频考点 考点二 线性目标函数的最值问题1．线性目标函数的最值问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．2．高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个命题角度： (1)求线性目标函数的最值；(2)已知线性目标函数的最值求参数．[例2] (1)(2013·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2(2)(2013·浙江高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.[自主解答] (1)由x ，y 满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC ，作出直线y ＝2x ，经过平移得目标函数z ＝y －2x 在点B (5,3)处取得最小值，即z min ＝3－10＝－7.(2)画出可行域如图所示．其中A (2,3)，B (2,0)，C (4,4)．当k ＝0时，显然不符合题意； 当k >0时，最大值在点C 处取得，此时12＝4k ＋4，即k ＝2；当k <0时，最大值在点A 处或C 处取得，此时12＝2k ＋3或12＝4k ＋4，即k ＝92>0(舍)或k ＝2>0(舍)．故k ＝2.[答案] (1)A (2)2线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解析：选B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得A (1，－2a )， 当直线2x ＋y －z ＝0过点A 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，y ≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．解析：如图所示，画出约束条件表示的平面区域(四边形ABCD )，作出目标函数z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0，通过平移可知z ＝x ＋y 在点C 处取最大值，而点C 的坐标为(1,4)，故z max ＝5.答案：5考点三 线性规划的实际应用[例3] (2013·湖北高考)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元[自主解答] 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点N (5,12)处取得最小值36 800元． [答案] C 【方法规律】求解线性规划应用题的注意点(1)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(2)对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 解析：选C 根据题意，整理表格如下：A 原料(千克)B 原料(千克) 利润(元) 甲产品(桶) 1 2 300 乙产品(桶) 2 1 400 限制 12 12设每天生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出可行域如图中阴影部分内的整点．将z ＝300x ＋400y 变形为y ＝－34x ＋z 400，得到斜率为－34，在y 轴上的截距为z400，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－34x ＋z 400经过点A 时，z400最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，得A 点坐标为(4,4)，所以z max ＝300×4＋400×4＝2 800元．故每天生产甲产品4桶，乙产品4桶时，公司共可获得的最大利润为2 800元．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．1个步骤——利用线性规划求最值的步骤 (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 2个注意点——求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值，应注意以下两点：(1)若b >0，则截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值．(2)若b <0，则截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．。