周期和对称性

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数y = /(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x +T) = f(x)都成立，那么就把函数y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期2、对称性定义(略)，请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y (即宁0)轴对称，偶函数有关系式/(-X)= f(X) 奇函数关于(0.0)对称，奇函数有关系式f(X)+ f(-X)= 0 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数y = /(x)关于x = a对称 <=> f(a + x) = f(a-x)f (a + x) = f{a - A)也可以写成/(A)=f(2a - x)或/(-x) = f(2a + x)简证:设点(％,)、)在)，=/(x)上,通过/(X)=/(2〃一x)可知,=/•(%) =，'(2" —工]), 即点(2a一x x,力)也在y = f(x)上，而点(西,—)与点(2。

一x{,关于x=a对称。

得证。

若写成：f(a+x) = f(b-x),函数>-=f(x)关于直线x= U/~A)+(Z—° = -对称2 2(2)函数y = f(x)关于点(0 b)对称O f(a + x) + f(a -x) = 2b上述关系也可以写成/(2«+ X)+/(-A)=2/?或f(2a-x) + f(x) = 2b简证：设点(Aj, y,)在y = /(x)上，即Vi =y(X])，通过/(2tz-x)4- f(x) = 2/?可知，f(2a - Xj) +f(x{) = 2b ,所以/(2«-x1) = 2Z?-/(x1) = 2Z?->'1 ,所以点(2a -Xj ,2b- )也在y = /(x)±,而点(2ci-,2b - y,)与(天，口)关于(。

函数的周期性和对称性知识点：（和定对称，差定周期）若函数()f x 在定义域上恒有()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的对称轴为2a b x +=；若函数在定义域上恒有()()f x T f x +=则T 为()f x 的周期（一般我们都研究函数的最小正周期），nT 都是周期 1、一个图像的对称与周期性(1)若函数关于y 轴对称，则()f x =(-)f x (2)若函数关于原点对称，则()f x -=(-)f x （3）若函数关于x a =对称，则)()(x a f x a f -=+ （4）若函数关于点（a,b ）对称，则()()2f a x f a x b ++-= （5）函数)(x f y =满足)()(x f T x f -=+，则T x f 2)(的周期为 2、两个图像的对称性（1） )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

（2）)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

（3）)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

（4）)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于ay =对称。

（5）)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。

对称性与周期性对称性和周期性是自然界中广泛存在的重要概念。

它们不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理、化学、生物等领域也具有重要的意义。

本文将分析对称性和周期性的概念、特征以及在不同领域中的应用。

一、对称性的概念与特征对称性是指一个物体或系统在某种变换下保持不变的特性。

在数学中，对称性可以分为几何对称和代数对称两种形式。

几何对称是指物体或图形在某种变换下形状、大小、位置等方面保持不变。

常见的几何对称包括轴对称和中心对称。

轴对称是指物体或图形在某条轴线旋转180°后仍能保持不变，如正方形、圆形等。

中心对称是指物体或图形绕某个点旋转180°后仍能保持不变，如十字花纹等。

代数对称是指在某种运算下，一个式子的值在变量的交换下保持不变。

常见的代数对称包括加法对称、乘法对称以及函数的对称性等。

加法对称是指两个数相加的结果与加法顺序无关，乘法对称是指两个数相乘的结果与乘法顺序无关。

函数的对称性是指函数的图像关于某条线、点或面具有对称性，如奇函数和偶函数。

二、周期性的概念与特征周期性是指一个函数、物体或系统在一定条件下以规律性的方式重复出现的特性。

周期性在数学中通过函数来描述，而在物理、化学中则包括波动、振动等现象。

函数的周期性是指函数在某个区间内以规律性的方式重复出现。

常见的函数周期包括正弦函数、余弦函数等三角函数。

正弦函数和余弦函数在一定区间内以波浪形式周期性地重复出现，具有确定的振幅、周期和相位。

物体或系统的周期性表现为某种规律性的重复运动或变化。

例如，地球绕太阳公转、物体在弹簧振动、原子核放射性衰变等都具有周期性。

这些周期性现象可以用数学模型来描述，为实现一定的预测和应用提供了基础。

三、对称性与周期性的应用对称性和周期性在不同领域中有着广泛的应用。

以下是一些具体的例子：1. 数学领域：对称性和周期性是数学中重要的研究对象。

对称性的研究涉及到群论、拓扑学等领域，而周期性则涉及到函数、级数等。

函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x ）是周期函数，且2|a ｜是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f （x －a ） ②f（x ＋a)＝－f （x ） ③f（x ＋a ）＝1/f(x ） ④f（x ＋a)＝－1/f （x)2、函数的对称性与周期性性质5 若函数y ＝f(x ）同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x ）必为周期函数,且T ＝2|a －b ｜性质6、若函数y ＝f （x ）同时关于点（a ，0）与点（b ，0)中心对称，则函数f （x ）必为周期函数,且T ＝2|a －b|性质7、若函数y ＝f （x ）既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|3。

函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-,则()f x 具有对称性:“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称例题分析:1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数,)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时,x x f =)(,则)5.47(f 等于 （ ） (A ）0。

(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。

这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。

本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。

一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。

二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。

完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。

2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。

如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。

2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。

3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。

4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。

5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。

6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。

7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。

8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。

9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。

10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。

函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。

又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。

从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。

命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。

函数周期性和对称性总结函数是数学中非常基础而且重要的概念，在研究函数的性质时，函数的周期性和对称性是其重要特征之一。

本文将对函数的周期性和对称性的概念和内涵进行总结和解释，以便更好地理解函数的性质。

一、周期性函数的周期性指函数的值在某个范围内周期性的重复，周期的概念与函数的定义有很大的关系。

1.义周期性函数是指在一定的区间上函数值一次周期性重复出现的函数。

有许多周期性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。

大部分周期性函数的图像是延一条条直线分割，周期性函数的微积分是有规律的。

2.性周期性函数的周期有两种表示方法：周期长度和周期弧长，分别表示周期函数的完整一次周期所需要的变量点数量和函数图像在单位区间所对应的弧长。

此外，周期性函数的定义域和值域是单调的，同时周期性函数一次周期内的值点会重复出现。

二、对称性函数的对称性是指函数图像经过某些变换仍然保持原有形状的性质，大多数函数都具有对称性特征。

1.定义函数的对称性表示函数图像在一定的条件下，经过某种变换，图像形状不变，即它仍然保持原来的形状。

一般来说，由于函数的对称性，它的定义域和值域都是单调的，一次周期的值点会重复出现，而且它的定义域经过一定的变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。

2.属性对称性函数的属性有几种：（1）对称性函数在定义域和值域内是单调的，且定义域和值域可以进行互换；（2）对称性函数不仅能够满足图像中心对称，而且还能够满足其他形状的对称；（3）对称性函数的值点会重复出现，单次周期内的值点也会一次性重复出现；（4）对称性函数的定义域经过变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。

三、结论以上简述函数的周期性和对称性。

函数的周期性表示函数值在一定区间内周期性重复出现，有许多周期性函数，其特点是定义域和值域是单调的，一次周期的值点会重复出现。

而函数的对称性表示函数图像在一定的条件下，它仍然保持原有形状，定义域和值域也是单调的，一次周期的值点也会重复出现。

第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

函数的周期性、对称性一、基本知识简述1． 函数的周期性(1)对于函数)(x f y =，如果存在一个常数T ≠0，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数.（2）周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数)()(R x a x f ∈=.（3）周期函数具有如下性质：1)周期函数的定义域是无界的，2)若T 为)(x f y =的周期，则nT )0(≠∈n Z n 且均为)(x f y =的周期2． 函数的对称性若函数)(x f y =对定义域内一切x(1) )(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.(2) )()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()2(x f x a f =-；)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称；[证明：若(x ，y)在y=f(x)上，则(2a-x,2b-y)亦在y=f(x)上，即2b-y=f(2a-x)得b x a f x f 2)2()(=-+]（3）)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称；)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称；vb)(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称；)(y f x =与)(x f y =的图象关于直线x y =对称；3.图像的变换（1） 平移变换（i ）)0)((>-=a a x f y 是将)(x f y =的图象向右平移a 个单位（ii ）)0)((>+=a a x f y 是将)(x f y =的图象向左平移a 个单位（iii ）),0()(R b b b x f y ∈≠+=是将)(x f y =的图象向上(b>0)或向下(b ＜0)平移b 个单位（2） 翻折变换（i ）)(x f y =可以看作)(x f y =的图象在x 轴上方不变，x 轴下方沿x 轴向上翻折后所得.（ii ）)(x f y =可以看作)(x f y =的图象在y 轴右方不变，y 轴右方沿y 轴向左翻折后所得.（iii ）)(y f x =可以看作)(x f y =的图象关于y=x 翻折后所得.（3） 压缩变换（i ）)0)((>=a ax f y 可以看作)(x f y =的图象沿x 轴方向向y 轴压缩)1(>a 或伸长)1(<a 到原来的a1倍所得. （ii ）)0)((>=b x bf y 可以看作)(x f y =的图象沿y 轴方向向x 轴伸长)1(>b 或压缩)1(<b 到原来的b 倍所得..二、例题1.求函数的周期例1已知偶函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，当)3,0(∈x 时，2)(x x f =，当)12,9(∈x 时，)(x f ＝＿＿＿＿＿双对称函数―――周期函数（1）定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线b x a x ==,都成轴对称（b a ≠），判断)(x f 的周期性（2）定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点),(),,(c b c a 都成中心对称（b a ≠），判断)(x f 的周期性（3）定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =都成轴对称，又关于点),(c b 都成中心对称（b a ≠），判断)(x f 的周期性例2 函数)(x f 对定义域内任意x 总有关系2]1)(][1)([=+++x f x f π，那么下列结论中正确的是（ ）（A ）)(x f 不一定是周期函数 （B ）)(x f 是周期为π周期函数（C ）)(x f 是周期为2π周期函数 （D ）)(x f 是周期为π21周期函数 2. 求周期函数的表达式例3对任意实数x ，函数)(x f 满足等式：)1()(+-=x f x f ，当]0,1(-∈x 时，x x x f 2)(2+=，则当]10,8[∈x 时，=)(x f ＿＿＿＿＿例4 已知)(x f y =是R 上以2为周期的偶函数.若在区间]1,0[上2242)(x x x f -+=，则对任意N n ∈，在区间]22,2[+n n 上)(x f 的表达式为＿＿＿＿＿3. 求对称函数的表达式例5 若函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，当2≤x 时，21)(x x f -=，则当2>x 时，则=)(x f ＿＿＿＿＿例6 已知曲线C 与抛物线142++=x x y 关于点（2，－1）对称，函数)(x f y =的图象与曲线C 关于x 轴对称，则)(x f y =的函数关系式为＿＿＿＿＿4. 用函数图像的对称性求函数方程根的和例7 函数)(x f y =对一切实数x 都满足)()(11x f x f -=+并且方程0)(=x f 有三个实根，这三个实根的和＿＿＿＿＿例8 方程015=++x x 和015=++x x 的实根分别为α和β，则α＋β等于＿＿＿＿＿三．习题1 .若函数)(1x f 和)(2x f 都是周期函数，最小正周期都是T ，对于函数y=)(1x f ＋)(2x f ，以下判断中，正确的是 ( )(A) 最小正周期都是T （B ）最小正周期都是t ，且t ＜T（C ）是周期函数，但可能没有最小正周期（D ）可能是非周期函数2. 函数)1(+=x f y 与)1(1+=-x f y 的图像( )(A) 关于直线x y =对称 (B) 关于直线1+=x y 对称（c ）关于直线1-=x y 对称 (D) 关于直线x y -=对称3. 设实数集R 上定义的函数)(x f ，，对任何R x ∈都有)(x f ＋)(x f -＝1，则这个函数的图像 （ ）(A)关于原点对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于点),0(21对称 (B) 关于点)1,0(对称 4. 函数)(x f y =的定义域和值域都是-R ，那么函数)(x f y --=的图像 ( )(A)在第1象限 (B) 在第2象限 (C) 在第3象限 (D) 在第4象限5. 函数11--=x y 的图像与x 轴围成封闭区域的面积是( )(A)2 (B) 2 (C) 1 (D) 216. 设函数)(x f y =是周期为2，且在区间[0,1]内单调递减，则)0(),5.2(),1(f f f -的大小关系为( )(A) )0()5.2()1(f f f <<- (B) )5.2()0()1(f f f <<-(C) )1()5.2()0(-<<f f f (D) )1()0()5.2(-<<f f f(二)填空题7. 定义在实数集上的函数)(x f 满足)1(1)1(1)1(+-++=-x f x f x f ，则)2000()3()2()1(f f f f +2000的值为_______ 8.函数4)(lg 222+-=x a x y 的图像关于直线x=1对称，则a=______9. 定义在R 上的函数)(x f y =、)(x f y -=、)(x f y -=、)(x f y --=的图象重合，它们的值域是_______10. 定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =)(x a f -，(a 是大于1的整数)，若方程)(x f =0有n 个实根，它们的和为2001，则a, n 的值可能有___种(三)解答题11. 函数)(x f y =是偶函数，且是周期为2的周期函数，当]3,2[∈x 时，1)(-=x x f ，在)(x f y =的图像上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等（A 点在B 点的左边），横坐标都在区间[1,3]上，定点C 的坐标为(0,a)，其中a>2，求ABC ∆面积的最大值（用a 表示）。

函数对称性、周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一局部在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

函数的周期性与对称性函数的周期性与对称性是数学中非常重要且有趣的一个概念。

在数学中，周期性指的是函数在某个固定的间隔内重复出现相同的模式。

而对称性则是指函数图像关于某一条直线或一个点的对称性。

周期性是函数最基本的性质之一。

在数学中，一般指的是函数在某个固定的间隔内重复出现相同的模式。

周期性可以分为有限周期和无限周期两种。

一个函数的周期可以通过求解函数的周期性方程找到。

对于一个有限周期的函数，它的周期可以用一个有理数来表示，例如正弦函数的周期为2π。

周期性函数有很多重要的应用，例如正弦函数和余弦函数在物理领域中经常被用来表示振动和波动的模式。

在电工学中，交流电的周期性是通过正弦函数进行描述的。

周期性函数还在信号处理、音乐、图像处理等领域中有着广泛的应用。

对称性是函数图像关于某一条直线或一个点的对称性。

常见的对称性有水平对称、垂直对称和中心对称三种。

水平对称指的是函数图像关于x轴对称；垂直对称指的是函数图像关于y轴对称；中心对称指的是函数图像关于原点对称。

对称性函数在数学中也有着广泛的应用。

例如，切比雪夫多项式和勒让德多项式是对称性函数的一种具体形式。

对称性函数还在图形的绘制和建模中起到重要的作用。

周期性和对称性在数学中是密切相关的。

事实上，有些周期性函数同时具有对称性。

例如，正弦函数就是一个具有水平对称的周期性函数。

当函数满足周期性和对称性时，其图像会表现出一些特殊的形式和规律，这为我们研究和理解函数的性质提供了很大的帮助。

总之，函数的周期性与对称性是数学中非常重要的概念。

它们不仅在数学理论研究中具有重要意义，还在实际应用中有着广泛的应用。

通过对周期性和对称性函数的研究和理解，我们可以更好地理解和应用数学知识，深入探索数学的奥秘。