信息论与编码第四讲

• 通常取对数的底为2，单位为比特（bit）。
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2.1.1 自信息量
• 三个单位间的转换关系为：
• 1奈特=log2e 1.433比特 • 1哈特莱=log210 3.332比特
• 自信息量非负且单调递减。
f(x)
log2x
f(x)
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2.1.1 自信息量
• 应用概率空间的概念分析上例，设取红球
的状态为x1，白球为x2，黑球为x3，黄球为 x4，则概率空间为：
• （1）
• （2）
PX(x)0x1.99 PX(x)0x1.5
x2 0.01
x2 0.5
• （3） P X (x) 0 x1 .250.x 2 2 5x30.25x0 4.25
• （7）按生成领域分：宇宙信息、自然信息、社会信息、 思维信息等。
• （8）按应用部门分：工业信息、农业信息、军事信息、 政治信息、科技信息、文化信息等。
（9）按信息源的性质分：语声信息、图像信息、文 字信息、数据信息、计算信息等。 （10）按载体性质分：电子信息、光学信息、生物信 息等。 （11）按携带信息的信号形式分：连续信息、离散信 息、半连续信息等。
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1.2.2 数字信息传输系统
• 优点：
• （1）抗干扰能力强，特别在中继传输中尤为明 显。
• （2）可以进行差错控制，提高了信息传输的灵 活性。
（3）便于使用现代计算机技术对信号进行处 理、存储和变换。 （4）便于加密，实现保密信息传输。
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1.2.2 数字信息传输系统
• （5）易于与其他系统配合使用，构成综合 业务信息传输网。
35
2.1.1 自信息量
• 结论： • （1）不确定度与信源概率空间的状态数及

C max H ( X ) log 3
p( x)
信息论与编码
3. 根据平均互信息量I（X; Y）达到信道容量的充要条件式对C进行验证：
p ( y j ) p ( xi ) p ( y j / xi )
i 1 3
1 P 0 0
0 1/ 2 0
0 1/ 2 0
0 0 1/6
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1
y1 y2 y3 y4 y5
1 0 P 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
【解】 该信道的信道容量为：
C max I ( X ; Y ) max H ( X ) log 5
C max I ( X ; Y ) max H (Y )
p( x) p( x)
由于
p( y ) p( x) p( y / x)，由于信道转移概率是确定的，求使H (
X
Y)
达到最大值的p ( x )的最佳分布就转化为求p ( y )的最佳分布。由极大离 散熵定理知，在p ( y )等概率分布时，H ( Y ) 达到最大，则
I ( x2 ; Y ) p ( y j / x2 ) log
j 1 2
p ( y j / x2 ) p( y j ) p ( y j / x3 ) p( y j ) p ( y j / x4 ) p( y j ) p ( y j / x5 ) p( y j )
1 log
1 1/ 2
log 2
I ( x3 ; Y ) p ( y j / x3 ) log
j 1 2
1 log

111 1110100
根据定理4.3，应有 xn-1=g(x) h(x) (3-7)
如果g(x)是循环码的生成多项式，那么h(x)一定 就是循环码的校验多项式。这是因为对于任意 一个码多项式C(x)，必有
C(x)h(x)=0 mod (xn-1)
∵ C(x)h(x) = m(x)g(x) h(x) = m(x) (xn-1)是(xn-1) 的倍式，一定能被(xn-1)整除 ∴ mod (xn-1) 运算后必定为零。
mk 1 x g( x ) m1 xg( x ) m0 g( x )
x k 1 g( x ) =[mk-1 mk-2…m0] xg( x ) =[mk-1 mk-2…m0] g( x )
其中，g(x)=gn-k xn-k+…+ g1 x + g0
第四讲
三、循环码
主要内容
1、循环码的定义 2、循环码的多项式描述 3、循环码编码方法 4、循环码的译码
1957年美国人E.Prange提出循环码概念； 1961年J.E.Meggitt提出了一种译码器，主要用于检
错；
1960年前后提出了两类重要的循环码：BCH码和 RS码。 1965年E.R.Berlekamp和G.D.Forney提出了有效的
生成矩阵G的每一行是n重空间的一个基底，也是k 维n重码空间的一个基底。在一般线性分组码的生 成矩阵中，这些基底除线性无关外没有什么特殊关 系。然而从式(4-10)看到，循环码生成矩阵的k个基 底，是一个基底(gn-k … g1 g0 0 … 0)的循环移位得 出的。因此只要知道一个基底，其它(k-1)个基底可 通过循环移位得到。
循环码的(n-k)n阶的校验矩阵可写为：

• 信源编码：把信源符号si映射为码字Wi的过程。 • 无失真编码：映射是一一对应、可逆的。
• 信源编码基本思想：尽可能缩短出现概率大的信 源符号的码字
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4.1 编码器及码的分类
• 码的分类 • 二元码：若码符号集X＝{0，1}，所得码字为一
些二元序列，则称二元码。[在二元信道中传输]
• 允许错误概率越小，编码效率要求越高，则信源 序列长度N就必须越长。
• 实际情况下，要实现几乎无失真的等长编码，N 需要非常大。
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4.4 等长信源编码定理
• 例 设离散无记忆信源
S P(s)
s1 3
4
, ,
s2 1 4
• 信源熵 H (S)1lo4 g3lo4g 0.81 (b1istym ) bol • 自信息方差 4 4 3
• 编码的意义： • 通信的基本问题：如何高速、高质地传送信息。 • 高速和高质＝鱼和熊掌。 • 编码讨论的问题： • （1）质量一定，如何提高信息传输速度（提高
编码效率或压缩比）---- 信源编码（本章讨论 问题） • （2）信道传输速度一定，如何提高信息传输质 量（抗干扰能力）----信道编码（下一章讨论）
• 当进行二元编码时，r＝2，则：
等长编码时平均每个 信源符号所需的二元 码符号的理论极限
l H(S)
N
信源等 概分布
l log q N
时
• 一般情况下，信源符号并非等概率分布，且符号
之间有很强的关联性，故信源的熵H(S)<<logq。
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4.4 等长信源编码定理
• 从定理4.3可知，在等长编码中每个信源符号平 均所需的二元码符号可大大减少，从而使编码效 率提高。