东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(理)-有答案
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东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合03,1xxxBxxA，则BA（ ）
A．（-1,0） B．（0,1） C．（-1,3） D．（1,3）
2.若复数aiiz11为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0 C．21 D．-1
3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）
中国古代的算筹数码
A． B． C． D．
4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822nn的最小偶数n，那么在空白框内填入及最后输出的n值分别是（ ）
A．1nn和6 B．2nn和6 C.1nn和8 D．2nn和8
5.函数xxxxftan1)(2的部分图像大致为（ ）
A． B． C. D．
6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（ ）
A．34 B．3310 C.32 D．338
7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A．24 B．36 C.48 D．60
8.ABC的内角CBA,,的对边分别为cba,,，若ABCbAcCaBb,2,coscoscos2的面积最大值是（ ）
A．1 B．3 C.2 D．4
9.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将ABC折成直二面角CADB，则过DCBA,,,四点的球的表面积为（ ）
A．3 B．4 C.5 D．6
10.将函数32sin)(xxf的图像向右平移a个单位得到函数()cos(2)4gxx的图象，则a的值可以为（ ）
A．512 B．712 C．924 D．4124
11..已知焦点在x轴上的双曲线222211xymm的左右两个焦点分别为1F和2F，其右支上存在一点P满足12PFPF，且12PFF的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）
A．52 B．72 C．2 D．3
12.若直线10kxyk（kR）和曲线:E3253yaxbx（0ab）的图象交于11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy（123xxx）三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行，则过点(,)ba可作曲线E的（ ）条切线
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设实数x，y满足约束条件0,40,5,yxyxy则25zxy的最大值为．
14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13yx，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）
气温x 18 13 10
-1
用电量y 24 34 ·
64
15.已知函数()fx满足1()(1)1()fxfxfx，当(1)2f时，(2018)(2019)ff的值为．
16.已知腰长为2的等腰直角ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若||2PC，则 ()()PAPBPCPM的最小值是．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列na的前n项和为nS，且21nSnn，正项等比数列nb的前n项和为nT，且22ba，45ba．
（I）求na和nb的通项公式；
（II）数列nc中，11ca，且1nnnccT，求nc的通项nc．
18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；
（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，1PAAB．
（1）证明：//EF平面DCP；
（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值． 20.在平面直角坐标系中，椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，点3(1,)2M在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知(2,0)P与(2,0)Q为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．
21.已知函数2()45xafxxxe（aR）．
（I）若()fx为在R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（II）设()()xgxefx，当1m时，若12()()2()gxgxgm（其中1xm，2xm），求证：122xxm．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C：cos3，曲线2C：4cos（02）．
（I）求1C与2C交点的极坐标；
（II）设点Q在2C上，23OQQP，求动点P的极坐标方程．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|2||23|fxxxm，mR．
（I）当2m时，求不等式()3fx的解集；
（II）对于(,0)x都有2()fxxx恒成立，求实数m的取值范围．
数学（理科）试题参考答案
一、选择题
1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC
二、填空题
13.14 14.38 15.72 16.22432
三、解答题
17.解：（1）∵21nSnn，∴令1n，11a，
12(1)nnnaSSn，(2)n，
经检验11a不能与na（2n）时合并，
∴1,1,2(1),2.nnann
又∵数列nb为等比数列，222ba，458ba，
∴2424bqb，∴2q，
∴11b，∴12nnb．
（2）122112nnnT，
∵12121cc，23221cc，…，1121nnncc，
以上各式相加得112(12)(1)12nnccn，
111ca，
∴121nncn，
∴21nnc．
18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a，得0.035a，
平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5岁；
设中位数为x，则100.010100.015(35)0.0350.5x，∴42.1x岁．
（2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．
设第2组中恰好抽取2人的事件为A，
则1223353()5CCPAC．
（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P，
X的所有可能取值为0，1,2,3， ∴03341(0)(1)5125PXC，11234412(1)()(1)55125PXC，2234448(2)()(1)55125PXC，
333464(3)()5125PXC，
所以X的分布列为：
X
0 1 2 3
P 1125 12125 48125 64125
∵4~(3,)5XB，
∴412()355EX．
19.解：（1）取PC中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB中点，∴//MFCB，12MFCB，
∵E为DA中点，ABCD为矩形，∴//DECB，12DECB，
∴//MFDE，MFDE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴//EFDM，∵EF平面PDC，DM平面PDC，
∴//EF平面PDC．
（2）∵PA平面ABC，且四边形ABCD是正方形，∴AD，AB，AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则(1,0,0)P，(0,0,1)D，(0,1,1)C，1(0,0,)2E，11(,,0)22F，
设平面EFC法向量1(,,)nxyz，111(,,)222EF，11(,,1)22FC，
则110,0,EFnFCn即0,110,22xyzxyz取1(3,1,2)n，
设平面PDC法向量为2(,,)nxyz，(1,0,1)PD，(1,1,1)PC，
则220,0,PDnPCn即0,0,xzxyz取2(1,0,1)n，
12121231(1)02157cos,14||||142nnnnnn，
所以平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为5714．
