东北三省三校2018届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案
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东北三省三校2018届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案
哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学
2021 年高三第一次联合模拟考试
理科数学试卷
第一卷〔共 60 分〕
一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 .
1. 复数 2i 的模为 ( ) 1 i
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2
2
2
2. 集合 A x y 9 x2 ， B x x a ，假设 A B A ，那么实数 a 的取值范围是 ( )
A. , 3 B. , 3 C. ,0 D. 3,
3. 从标有 1、 2、 3、4、 5 的五张卡片中，依次抽出 2 张，那么在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数
的概率为 ( )
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
4 2 3 3
4. sin
3 a 1 ，那么 cos 5 a ( )
3 6
A. 1 B. 1 2 2 D. 2
C.
3
3
3 3
5. 中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 2,4 ，那么它的离心率为 ( )
A. 5 C. 3 D. 5
2
1 5
6. x2 2 1 展开式中的常数项是 ( )
x
A. 12 B. 12 D. 8
7. 某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是 3，那么正视图中的 x 的值是 ( ) 东北三省三校2018届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案
A. 3
B. 9
2 2
8. 函数 f x3sin x cos x 0 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 ，那么该函数的一个单
2
调增区间为 ( )
A. , B. 5 , C. , 2 D.
3 , 2
3 6 12 12 6 3 3
9. 辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如下图的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，假设输入
m 8521 ， n 6105 ，那么输出 m 的值为 ( )
10. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥
. 如图，半球内有一内接正四棱锥
S－ABCD
，该四棱锥的侧面积为
4 3 ，那么该半球的体积为
(
)
A. 4 B. 2
C. 8 2 D. 4 2
3 3 3 3
11. 抛物线 C : y2 2x ，直线 l : y 1 x b 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，假设以 AB 为直径的圆与 x 轴相
2
切，那么 b 的值是 ( ) 东北三省三校2018届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案
A. 1 B. 2 C. 4 8
5
5
5 D.
5
12. 在 △ ABC ， ∠ C 90°， AB 2BC 4 ， M , N 是边 AB 上的两个动点，且 MN 1 ，那么 CM CN 的取值
范围为 ( )
A. 11 ,9 B. 5,9 C. 15 ,9 D. 11 ,5
4 4 4
二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕
13. 在 △ ABC 中， AB 2 ， AC 7 ， ∠ ABC 2 ，那么 BC ______________.
3
x 1 0
y
14. 假设 x, y 满足约束条件 x y 0 ，那么 的最大值为 ______________.
x y 4 x 1
0
15. 甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科 A 、 B 、 C ，：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教 C 学科；
③在长春工作的教师教 A 学科；④乙不教 B 学科 .
可以判断乙教的学科是 ______________.
16. 函数 f x 1 2 是函数 f x 的极值点，给出以下几个命题： x ln x x ， x0
2 ① 0 x0 1 ；② x0 1 ；③ f x0 x0 0 ；④ f x0 x0 0 ；
e e
其中正确的命题是 ______________.( 填出所有正确命题的序号 )
三、解答题 〔本大题共 6 小题，共 70 分. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 〕
17. 正项数列 an 满足： 2
2 an 3 ，其中 Sn 为数列 an 的前 n 项和 .
4Sn an
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 设 n 1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn . b 2
an 1
18. 某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润 200 元，未销售的产品返回厂家，每台亏损 50 元，
根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间 20, 10 ，需求量为 100
台；最低气温位于区间 25, 20 ，需求量为 200 台；最低气温位于区间 35, 25 ，需求量为 300 台。公
司销售部为了确定 11 月份的订购方案，统计了前三年 11 月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布
表：
最低气温 ( ℃) 35, 30 30, 25 25, 20 20, 15 15, 10 东北三省三校2018届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案
天数 11 25 36
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率 .
(1) 求 11 月份这种电暖气每日需求量 X ( 单位：台 ) 的分布列；
16
2
(2) 假设公司销售部以每日销售利润
Y ( 单位：元 ) 的数学期望为决策依据， 方案
11 月份每日订购
200 台或
250
19.
台，两者之中选其一，应选哪个？
如图，四棱锥 P ABCD 中，平面
PAD
平面
ABCD
，且
PA
PD ，底面
ABCD
为矩形，点
M 、 E 、 N
分别为线段
AB 、 BC
、 CD 的中点，
F
是
PE 上的一点，
PF
2FE . 直线
PE 与平面
ABCD
所成的角为
. 4
(1) 证明： PE 平面 MNF ；
(2) 设 AB AD ，求二面角 B MF N 的余弦值 .
椭圆 C : x 2
y 2
0 过抛物线 M : x2
20. 2 2 1 a b 4y 的焦点 F ， F1 ， F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，
a b
且 F1 F F1F2 6 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 假设直线 l 与抛物线 M 相切，且与椭圆 C 交于 A ， B 两点，求 △OAB 面积的最大值 .
21. 函数 f x e x ， g x ln x ， h x kx b .
(1) 当 b 0 时，假设对任意 x 0, 均有 f x h x g x 成立，求实数 k 的取值范围；
(2) 设直线 h x 与曲线 f x 和曲线 g x 相切，切点分别为 A x1, f x1 ， B x2 , g x2 ，其中 x1 0 .
①求证：
x2
e ；
②当
x
x2 时，关于
x 的不等式
a x1
1
x ln x
x 0 恒成立，求实数
a 的取值范围
.
22. 曲线
C1 的极坐标方程为：
4cos
，以极点为坐标原点，以极轴为
x 轴的正半轴建立直角坐标系，
