2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第九章
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1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|
＝ 1＋1k2|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．( × )
(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．( × )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ )
(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ )
(5)过点(2,4)的直线与椭圆x24＋y2＝1只有一条切线．( × )
(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．( √ )
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
答案 3
解析 结合图形(图略)分析可知，
满足题意的直线共有3条：
直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
2．(2016·常州模拟)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为________．
答案 相交
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
3．若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围是__________________．
答案 －23，23
解析 双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，
若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈－23，23.
4．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB＝________.
答案 16
解析 直线l的方程为y＝3x＋1，
由 y＝3x＋1，x2＝4y，得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
∴AB＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线x24－y2＝1相交于A，B两点，则AB的最小值为______．
答案 4
解析 由题意可设直线l的方程为y＝m，
代入x24－y2＝1，得x2＝4(1＋m2)，
所以x1＝41＋m2＝21＋m2，
x2＝－21＋m2，
所以AB＝|x1－x2|＝41＋m2，
所以AB＝41＋m2≥4，
即当m＝0时，AB有最小值4.
第1课时 直线与圆锥曲线
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (2016·无锡模拟)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组 y＝2x＋m， ①x24＋y22＝1， ②
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－32
(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．
(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
(1)求OHON；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
解 (1)由已知得M(0，t)，Pt22p，t，
又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，ON的方程为y＝ptx，代入y2＝2px整理，得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p，因此H2t2p，2t.
所以N为OH的中点，即OHON＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．
代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．
题型二 弦长问题
例2 (2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：x24＋y23＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当AM＝AN时，求△AMN的面积；
(2)当2AM＝AN时，证明：3
(1)解 设M(x1，y1)，则由题意知y1>0，由AM＝AN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入x24＋y23＝1，得7y2－12y＝0，
解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.
(2)证明 设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，
代入x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，
由x1·(－2)＝16k2－123＋4k2，得x1＝23－4k23＋4k2，
故AM＝|x1＋2|1＋k2＝121＋k23＋4k2.
由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋2)，
故同理可得AN＝12k1＋k23k2＋4.
由2AM＝AN，得23＋4k2＝k3k2＋4，
即4k3－6k2＋3k－8＝0，
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝153－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，
所以3
思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2016·徐州模拟)设椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率为32，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋23.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的左，右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E(点D与点A，B不重合)，若C点满足AB→⊥BC→，AD→∥OC→，连结AC交DE于点P，求证：PD＝PE.
(1)解 由e＝32，知ca＝32，所以c＝32a，
因为△PF1F2的周长是4＋23，所以2a＋2c＝4＋23，
所以a＝2，c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，
所以E(x0,0)，
因为AB→⊥BC→，所以可设C(2，y1)，
所以AD→＝(x0＋2，y0)，OC→＝(2，y1)，
由AD→∥OC→可得(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝2y0x0＋2.
