2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第七章
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1.基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
(2)ba＋ab≥2(a，b同号).
(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R).
(4)a2＋b22≥a＋b22 (a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)
【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)
(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)
(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；
不等式f(x)
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( × )
(2)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈(0，π2)的最小值等于4.( ×
)
(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.( × )
(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a.( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件.( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )
1.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________.
答案
81
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2≥xy，
即xy≤(x＋y2)2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2.(教材改编)若0
答案 (0，324]
解析 由00，
故x3－2x＝12·2x3－2x
≤12·2x＋3－2x2＝324，
当且仅当x＝34时，上式等号成立.
∴0
3.(教材改编)当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，函数z＝3x＋27y＋3的最小值是____.
答案 9
解析 z＝3x＋33y＋3≥23x·33y＋3＝23x＋3y＋3＝232＋3＝9，当且仅当3x＝33y，即x＝1，y＝13时，z取最小值.
4.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为______.
答案 22
解析 因为x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，
当且仅当x＝2y时取等号，
所以x2＋2y2的最小值为22.
5.(教材改编)①若x∈(0，π)，则sin x＋1sin x≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2lg a·lg b；③若x∈R，则x＋4x≥4.其中正确结论的序号是________.
答案 ①③
解析 ①因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0,1]，
所以①成立；
②只有在lg a>0，lg b>0，
即a>1，b>1时才成立；
③x＋4x＝|x|＋4x≥2|x|·4x＝4，当且仅当x＝±2时“＝”成立.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 通过配凑法利用基本不等式
例1 (1)已知0
(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________.
(3)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值为________.
答案 (1)23 (2)1 (3)23＋2
解析 (1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·[3x＋4－3x2]2＝43，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号.
(2)因为x<54，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋14x－5
＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.
(3)y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1
＝x－12＋2x－1＋3x－1
＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.
当且仅当(x－1)＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立.
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________.
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab
≥2＋2ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立.
引申探究
1.条件不变，求(1＋1a)(1＋1b)的最小值.
解 (1＋1a)(1＋1b)＝(1＋a＋ba)(1＋a＋bb)
＝(2＋ba)·(2＋ab)
＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝12时，取等号.
2.已知a>0，b>0，1a＋1b＝4，求a＋b的最小值.
解 由1a＋1b＝4，得14a＋14b＝1.
∴a＋b＝(14a＋14b)(a＋b)
＝12＋b4a＋a4b
≥12＋2b4a·a4b＝1.
当且仅当a＝b＝12时取等号.
3.将条件改为a＋2b＝3，求1a＋1b的最小值.
解 ∵a＋2b＝3，
∴13a＋23b＝1，
∴1a＋1b＝(1a＋1b)(13a＋23b)＝13＋23＋a3b＋2b3a
≥1＋2a3b·2b3a＝1＋223.
当且仅当a＝2b时，取等号.
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.
(2)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________.
答案 (1)5 (2)－2
解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(15y＋35x)
＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5.
(当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.
方法二 由x＋3y＝5xy，得x＝3y5y－1，
∵x>0，y>0，∴y>15，
∴3x＋4y＝9y5y－1＋4y＝13y－15＋95＋45－4y5y－1＋4y
＝135＋95·15y－15＋4(y－15)
≥135＋23625＝5，
当且仅当y＝12时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)∵a＋b＝2，
∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b
＝a＋b4|a|＋|a|b
＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b
＝a4|a|＋1，
当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立.
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值.
题型二 基本不等式的实际应用
例3 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lg z4lg x＋lg zlg y的最小值为________.
(2)(2016·江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD的棱长为6，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则3x＋1y的最小值是____.
答案 (1)98 (2)2＋3
解析 (1)由题意得z2＝xy，lg x>0，lg y>0，
∴lg z4lg x＋lg zlg y＝12lg x＋lg y4lg x＋12lg x＋lg ylg y
＝18＋lg y8lg x＋12＋lg x2lg y
＝58＋lg y8lg x＋lg x2lg y
≥58＋2116＝98，
当且仅当lg y8lg x＝lg x2lg y，即lg y＝2lg x，
即y＝x2时取等号.
(2)过点A作AO⊥平面BCD于点O，则O为△BCD的重心，所以OB＝23×32×6＝2，
所以AO＝62－22＝2.
又VP—BCD＋VP—ACD＝VA—BCD，
所以13S△BCD·y＋13S△ACD·x＝13S△BCD·2，
即x＋y＝2.
所以3x＋1y＝12(3x＋1y)(x＋y)
＝12(4＋xy＋3yx)≥2＋3，
当且仅当x＝3－3，y＝3－1时取等号.
思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
