2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第

1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p q p∧q p∨q 綈p

真 真 真 真 假

真 假 假 真

假

假 真 假 真 真

假 假 假 假 真

2.全称量词和存在量词

量词名词 常见量词 表示符号

全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀

存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃

3.全称命题和存在性命题

命题名称 命题结构 命题简记

全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x)

存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ∃x∈M，p(x)

4.含有一个量词的命题的否定

命题 命题的否定

∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x)

∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)

【知识拓展】

1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；

(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；

(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.

2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.( × )

(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )

(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.( √ )

(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( × )

(5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( × )

(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( ×

)

1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是______________.

答案 ∀x>－1，x2＋x－2 016≤0

解析 命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 016≤0”.

2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的______________条件.

答案 充分不必要

解析 綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.

3.(教材改编)若不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________.

答案 a>1

解析 方法一 不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立.

结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.

方法二 不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max，而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为0－224×－1＝1，所以a>1.

4.已知实数a满足1

①p∨q为真；②p∧q为假；③(綈p)∧q为真；④(綈p)∧(綈q)为假.其中正确的命题是________.

答案 ①④

解析 由y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即1

5.(2015·山东)若“∀x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.

答案 1

解析 ∵函数y＝tan x在0，π4上是增函数，

∴ymax＝tan π4＝1.

依题意，m≥ymax，即m≥1.

∴m的最小值为1.

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1 (1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号)

①p∧q ②(綈p)∧(綈q)

③(綈p)∧q ④p∧(綈q)

(2)(2016·盐城模拟)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则p________，q________.(填“真”或“假”)

答案 (1)④ (2)假 真

解析 (1)∵p是真命题，q是假命题，

∴p∧(綈q)是真命题.

(2)∵綈p为真命题，∴p为假命题，

又∵p∨q为真命题，∴q为真命题.

思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p、q的真假；

(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.

已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________.

答案 ②③

解析 当x>y时，－x<－y，

故命题p为真命题，从而綈p为假命题.

当x>y时，x2>y2不一定成立，

故命题q为假命题，从而綈q为真命题.

由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题.

题型二 含有一个量词的命题

命题点1 全称命题、存在性命题的真假

例2 不等式组 x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D， x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是________.

答案 p1，p2

解析 画出不等式组 x＋y≥1，x－2y≤4的可行域D如图阴影部分所示，两直线交于点A(2，－1)，设直线l0的方程为x＋2y＝0.由图象可知，∀(x，y)∈D，x＋2y≥0，故p1为真命题，p2为真命题，p3，p4为假命题.

命题点2 含一个量词的命题的否定

例3 (1)(2016·盐城模拟)命题“∃x∈R，x2－2x>0”的否定是____________.

(2)(2015·浙江改编)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________.

答案 (1)∀x∈R，x2－2x≤0

(2)∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n.

解析 (1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定.

(2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知.

思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p(x)成立.

(2)对全称、存在性命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词.

②对原命题的结论进行否定.

下列命题的否定为假命题的是________.(填序号)

①∀x∈R，－x2＋x－1<0；

②∀x∈R，|x|>x；

③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；

④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.

答案 ①

解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题.

题型三 求含参数命题中参数的取值范围

例4 (1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________.

(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________.

答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)[14，＋∞)

解析 (1)若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，

即a≤－4或a≥4；

若命题q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.

∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，

∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞).

(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，

g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，

得0≥14－m，所以m≥14.

引申探究

在例4(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.

答案 [12，＋∞)

解析 当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，

由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，

∴m≥12.

思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.

(1)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.

(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________.

答案 (1)[e，4] (2)(－∞，0)

解析 (1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.

(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，

当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0).

1.常用逻辑用语

考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系．

一、命题的真假判断

典例1 (1)已知命题p：∃x0∈R，x20＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

①綈p为假命题

②q为真命题

③p∨q为假命题

④p∧q为真命题

(2)下列命题中错误的个数为________.

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；

②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；

③命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0；

④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.

解析 (1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即x2＋1≥2x，所以p为假命题；

对于命题q，当m＝0时，－1<0恒成立，

所以命题q为假命题.

综上可知，綈p为真命题，p∧q为假命题，p∨q为假命题.

(2)对于①，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p∧q不