2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义课件 第二章

第4讲 幂函数与二次函数

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2017·苏州期末)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为________．

解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1,1,3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1,3.

答案 1,3

2．已知P＝，Q＝253，R＝123，则P，Q，R的大小关系是________．

解析 P＝＝223，根据函数y＝x3是R上的增函数，且22>12>25，得223>123>253，即P>R>Q.

答案 P>R>Q

3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则下列结论：

①a>0,4a＋b＝0；②a<0,4a＋b＝0；③a>0,2a＋b＝0；

④a<0,2a＋b＝0

其中正确的是________(填序号)．

解析 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0.

答案 ①

4．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋1a的图象可能是________(填序号)．

解析 若a<0，由y＝xa的图象知排除③，④，由y＝ax＋1a的图象知应为②；若a>0，由y＝xa的图象知排除①，②，但y＝ax＋1a的图象均不适合，综上应为②.

答案 ②

5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间上的最大值为1，则实数a＝________.

解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，

∴函数的最大值在区间的端点取得，

∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，

∴ －a≥4－3a，－a＝1或 －a≤4－3a，4－3a＝1，解得a＝1.

1.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).

(2)二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)

值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a

单调性 在x∈－∞，－b2a上单调递减；

在x∈－b2a，＋∞上单调递增 在x∈－∞，－b2a上单调递增；

在x∈－b2a，＋∞上单调递减

对称性 函数的图象关于x＝－b2a对称

2.幂函数

(1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.

(2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②幂函数的图象过定点(1，1)；

③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

【知识拓展】

1.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 a>0，Δ<0时恒有f(x)>0，当 a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.

2.幂函数的图象和性质

(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.

(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.( × )

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.( × )

第3讲 函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2017·镇江期末)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是________．

解析 y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lgx2－2与y＝xsin x为偶函数．

答案 2

2．(2015·湖南卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则下列结论：

①奇函数，且在(0,1)内是增函数；

②奇函数，且在(0,1)内是减函数；

③偶函数，且在(0,1)内是增函数；

④偶函数，且在(0,1)内是减函数．

其中正确的有________(填序号)．

解析 易知f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，

又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0,1)上是增函数，

所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0,1)上是增函数．

答案 ①

3．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

解析 由于f(－x)＝f(x)，

∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，

化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，

∴a＝－32.

答案 －32

4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝________.

解析 由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有 －f＋g＝2，f＋g＝4，解得g(1)＝3.

答案 3

5．(2017·南通调研)若函数f(x)＝ xx－b，x≥0，axx＋，x<0(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)的值为________．

解析 法一 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，

1.几类函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)

反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c

(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型 f(x)＝blogax＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

2.三种函数模型的性质

函数

性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同

值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax

【知识拓展】

1.解函数应用题的步骤

2.“对勾”函数

形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，

在[－a，0)和(0，a]上单调递减.

(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，

当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )

(2)幂函数增长比直线增长更快.( × )

(3)不存在x0，使0xa<0nx

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.( √ )

(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )

1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元.