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学案1：1.3.1利用导数研究函数的单调性

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利用导数研究函数的单调性学案

【使用说明】

1.仔细阅读课本，课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇到不会的问题再回去阅读课本。

2.限时独立完成，书写规范，课上小组合作探究，答疑解惑。

3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。

【学习目标】

1.了解函数单调性与导数的关系；

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．

3.激情投入，从科学家探索物质构成奥秘的史实中体会科学探究的过程和方法。

预 习 案

知识衔接

1.指出下列函数的单调性：

○1 122xxy； xxy1；

○2 xxy3； xxy1；

○3 12log2xy

2.○1函数在某点附近的单调性与该点导数正负的关系

观察右图，填空：

1。1xf______0（填< ，> ，=）；此时函数在1x附近单调递____（增，减）；

2.2xf______0；此时函数在2x附近单调递______；

3.3xf______0；此时函数在3x附近单调递______；

4.4xf______0；函数在4x附近单调递______；

5. 5xf______0；函数在5x附近单调递______.

○2函数的单调性与导函数正负的关系 定理：在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；

如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．

说明：特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是_________．

探 究 案

例1.已知导函数'()fx的下列信息，试画出函数()yfx图像的大致形状．

当14x时，'()0fx；

当4x，或1x时，'()0fx；

当4x，或1x时，'()0fx

例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）3()3fxxx； （2）2()23fxxx

（3）()sin(0,)fxxxx； （4）32()23241fxxxx

拓展1 求函数xexfx)(的单调区间

拓展2 证明：函数xxy33在区间1,1上单调递减

小结：求解函数()yfx单调区间的步骤：

例3.如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

四、课堂小结

【随堂检测】 1．函数1129223xxxxf的单调递减区间为（ ）

A．21， B．，2 C．1-， D．1-，和，2

2．已知对任意实数x，xgxgxfxf,成立.当0x时，0,0xgxf；

当0x时（ ）

A．0,0xgxf B．0,0xgxf

C．0,0xgxf D．0,0xgxf

3．若xfy的图像如右图所示，则xfy的图像最有可能是（ ）

A． B． C．

D．

4．函数,,cossinxxxxy的单调增区间为（ ）

A．2, 和2,0 B．0,2和2,0

C．2, 和 ,2 D．0,2和 ,2

5．函数xexy2的单调递增区间是 .

6．已知函数1323xxaxxf在R上是减函数，则a的取值范围是 .

7．四个函数：○1xey；○2xyln；○3xay；○431xy中，在区间0,内为减函数的有

.

8．已知函数1623xbxaxy的递增区间为3,2，求ba,的值.

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3.3.1利用导数求函数的单调性

3.3.1利用导数求函数的单调性

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- 1 - §3.3.1 利用导数判断函数的单调性

【课标点击】

（一）学习目标

（1）理解掌握函数单调性与导数的关系；

（2）能够利用导数的符号判断函数的单调性．

（二）教学重点，难点

结合几何直观，探索函数单调性与导数的关系．

【课前准备】

（一）知识链接

（1）求函数xy2的导数 。判断它的单调性

（2）求函数2()43fxxx的导数 画出草图，讨论它的单调性。

（二）问题导引

1．情境：作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画．

2．问题：那么导数与函数的单调性有什么联系呢？

（三）自学指导

在必修一函数单调性一部分的探索与研究中，曾经涉及了用函数的平均变化率来研究函数单调性的有关内容，同学们可以结合平均变化率与导数的关系来理解如何利用导数研究函数的单调性

【学习探究】

（一） 自学导引

问题1：在函数2()43fxxx中，若'0fx，自变量x的取值范围是什么？与函数的递增区间存在怎样的联系？

问题2：在函数2()43fxxx中，若'0fx，自变量x的取值范围是什么？与函数的递减区间存在怎样的联系？

问题3：如何利用导数判断函数的单调性？

（二） 知识点梳理

一般地，我们有下面的结论： 北京英才苑网站 ·版权所有·盗版必究·

- 2 - 设函数()yfx，如果在x的某个开区间内，总有 ，那么()fx在这个区间上是增函数；

如果如果在x的某个开区间内，总有()0fx，那么()fx在这个区间上是 ；

如果在某区间上()0fx，那么()fx为该区间上的常数函数．

2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.3.1利用导数研究函数的单调性(1)

2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.3.1利用导数研究函数的单调性(1)

1 课题3.3.1——利用导数研究函数的单调性 ⑴ 姓名：

一：学习目标

1. 利用导数求函数的单调区间

2. 利用导数证明函数的单调性

二：课前预习

1.（1）作出函数342xxy的图像，并指出其单调区间：

（2）作出函数()sin(0,2)fxxx的图像，并指出其单调区间：

2.作出函数f(x)=x1的图像，并用单调性定义证明其在(0，+∞)上递减.

三：课堂研讨

例1函数xxxfln)(的单调增区间是 ；

备 注

2

例2.（1）证明函数)(xfxxee在,0上是增函数；

例3 证明当2,0x时，证明xxtan

课堂检测—— 课题：3.3.1研究函数的单调性 ⑴ 姓名： 3 1.确定下列函数的单调区间：

（1）)3(2xxy：

（2）xxycossin：

2.求证当2,0x时，xxsin

3.已知曲线106323xxxy点P在该曲线上移动，过点P的切线为L,

⑴求证：此函数在R上单调递增；

⑵求L的斜率的取值范围。

课外作业—— 利用导数研究函数的单调性 （1） 姓名： 4 1． 函数xxxf3的单调增区间为

2.函数xexxf)3()(的单调递增区间是_____________

3.函数xxy1的单调区间为

4.用导数证明

①xeyx，在0,x上是减函数。

②xysin在区间22，上是增函数。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2

word

1 / 5 导数在研究函数中的应用—单调性

一、教材分析

本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．

二、学情分析

学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．

在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．

三、教学目标

1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；

2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．

四、教学重点、难点

我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段

教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程 word

2 / 5 教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。

1.3.1函数的单调性与导数(一)

1.3.1函数的单调性与导数(一)

2020-2021学年度高二下学期

数学选修2-2导学案 编号：2021-05 使用时间：2021.3.11 编写人：杜建军 备课组长签字： 年级主任签字： 班级： 第 小组 姓名：

- 1 - 1.3.1函数的单调性与导数（一）

【学习目标】

1. 记住函数的单调性与导数之间的关系；

2. 学会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．

【重点难点】

重点: 函数的单调性与导数之间的关系

难点: 利用函数的导数判断单调性

【学习过程】

【预习案】

预习教材P22～26，完成以下问题

1.一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，

如果在这个区间内，f ′(x)＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的

如果在这个区间内，f ′(x)＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的

2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

3.用导数求函数单调区间的步骤：

①优先确定函数的定义域；

②求函数f(x)的导数f ′(x)；

③定义域内满足不等式f ′(x) ＞0的x的区间就是递增区间；

满足不等式f ′(x) ＞0的x的区间就是递减区间．

[预习诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )

2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )

3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 【探究案】

探究一 函数余导函数图象间的关系

例1：设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为( )