《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案

《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案

教学目标：

知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；

过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；

情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.

教学重点：

利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；

教学难点：

利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用.

教学过程：

一、自学导航

1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？

（2）如何用定义判断一些函数的单调性？

一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．

当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．

问题：能否用定义法讨论函数()xfxex的单调性？

学生活动 讨论函数342xxy的单调性.

解：取x1＜x2，x1、x2∈R， 取值

f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差

＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形

当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号

∴y＝f(x)在(－, 2)单调递减． 判断

当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，

∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增.

2. 研究函数342xxy的导函数值的符号与单调性之间的关系.

二、探究新知

1.导数符号与函数单调性之间的关系

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数.

如果在这个区间内y>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；

如果在这个区间内y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.

说明：（1）如果某个区间内恒有y=0，则f(x)等于常数； （2）y>0（或y<0）是函数在(a，b）上单调增（或减）的充分不必要条件.

2.利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f(x)的定义域；

(2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．

三、例题精讲：

例1 求函数23252xfxxx的单调区间.

解：()fx=3x2－x－2=0，得x=1，23.在（－∞，－32）和［1，+∞)上()fx>0，f（x）为增函数；在［－32，1］上f（x）<0，f（x）为减函数.

所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.

变式题1：求函数2()2lnfxxx的单调区间．

答案：增区间为1,2，减区间为10,2

变式题2：设函数()(0)kxfxxek．求函数()fx的单调区间；

解：由'10kxfxkxe，得10xkk， 若0k，则当1,xk时，'0fx，函数fx单调递减，

当1,,xk时，'0fx，函数fx单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若0k，则当1,xk时，'0fx，函数fx单调递增，

当1,,xk时，'0fx，函数fx单调递减..w.k.s.5.u.c.o

点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响；

（2）同一函数的两个单调区间不能并起来；

（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，

但它是一种一般性的方法.

例2 若函数123mxxxy是R上的单调函数，则实数m的取值范围是

答案：1[,)3

变式题1:若函数123mxxxy有三个单调区间，则实数m的取值范围是 .

答案：1(,)3

变式题2:若函数123mxxxy在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 则实数m的值是 . 答案：-5

变式题3：若函数123mxxxy在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m的值是 . 答案：-1

.m 变式题4：若函数123mxxxy的单调递减区间是4[2,]3，则则实数m的值是 .

答案：-8

例3 设函数()yfx在定义域内可导，()yfx的图象如图1所示，则导函数()yfx可能为 答案：④

变式题1：如果函数()yfx的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：

①函数()yfx在区间1(3,)2内单调递增；

②函数()yfx在区间1(,3)2内单调递减；

③函数()yfx在区间(4,5)内单调递增；

④函数()yfx的单调递增区间是x y

O

图x y

O

① x y O

② x y O

③ y

O

④ x -2 2 x y

O 1 -1 -1 1 [2,2][4,)

则上述判断中正确的是____________．答案：③

变式题2：已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中()fx是函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是

答案：③

备选例题：已知函数()ln3(R)fxaxaxa．(1)求函数()fx的单调区间；

(2)若函数()yfx的图象在点(2,(2))f处的切线的倾斜角为45，对于任意的]2,1[t，函数32()['()]2mgxxxfx在区间)3,(t上总不是单调函数，求m的取值范围；

(3)求证：ln2ln3ln4ln1(2,N)234nnnnn．

解：(1)(1)'()(0)axfxxx

当0a时，)(xf的单调增区间为0,1，减区间为1,；

当0a时，)(xf的单调增区间为1,，减区间为0,1； O

-2 2 x y

1 -1

-2 1 2

O x y

-2 -2 2 1 -1 1 2

O -2 4

x y

1 -1

-2 1 2

O -2 2 x y

-1 2 4

① ② ③ ④ 当0a时，)(xf不是单调函数

(2)12)2('af得2a，()2ln23fxxx

∴xxmxxg2)22()(23，∴2)4(3)('2xmxxg

∵)(xg在区间)3,(t上总不是单调函数，且02'g∴0)3('0)('gtg

由题意知：对于任意的]2,1[t，'()0gt恒成立，

所以，'(1)0'(2)0'(3)0ggg，∴3793m

(3)令1a此时3ln)(xxxf，所以2)1(f，

由(Ⅰ)知3ln)(xxxf在),1(上单调递增，∴当),1(x时)1()(fxf，即01lnxx，∴1lnxx对一切),1(x成立，

∵2,N*nn，则有1ln0nn，∴nnnn1ln0

ln2ln3ln4ln12311(2,N)234234nnnnnnn

四、课堂精练

1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,)34

2. 已知函数()yfx在定义域[4,6]内可导，其图象如图，记()yfx的导函数为'()yfx，则不等式'()0fx的解集为 .411[4,][1,]33

3. 若函数321fxxax在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为

.

答案：a≥3

讨论函数1()cos2fxxx的单调性.

答案：函数在7[2,2]()66kkkZ上单调递增；在711[2,2]()66kkkZ上单调递增

五、回顾小结

判断函数单调性的方法；

2.导数符号与函数单调性之间的关系；

3.利用导数确定函数的单调性的步骤.

分层训练

1.函数y=8x2-lnx的单调递增区间是 . 答案：1[,)4

2．已知xR，奇函数32()fxxaxbxc在[1,)上单调，则字母,,abc应满足的条件是 ．

答案：a=c=0,3b

3.已知函数3221()(41)(1527)23fxxmxmmx在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是 . 答案：2＜m＜4

4.若函数2()2lnfxxx在定义域内的一个子区间(1,1)kk内不是单调函数,则实数k的取值范围是 .答案：33(,)22

5. 已知函数()lnfxx,()agxx,设()()()Fxfxgx．求函数()Fx的单调区间；

解：ln0aFxfxgxx，221'0axaFxxxxx

（1）若0a，由'0,Fxxa，∴Fx在,a上单调递增.

由'00,Fxxa，∴Fx在0,a上单调递减.

∴Fx的单调递减区间为0,a，单调递增区间为,a.

（2）若0a，则'0Fx在0,上恒成立，∴Fx在0,上单调递增.

6.已知函数32()(1)(2)(,)fxxaxaaxbabR．若函数()fx在区间（-1,1）上不单调，求a的取值范围．

答案：（-5，-1）

六、拓展延伸

1.已知函数32()fxxbxcxd在(,0)上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程

f (x)=0有三个根，它们分别是,2,.

(1)求c的值； （2）求证：(1)2f； （3）求||的取值范围.