高一数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
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高一数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
1. 如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点 的直线，分别与圆交于，两点．
（1）若，，求△的面积；
（2）过点作圆O的两条切线，切点分别为E，F，求；
（3）若，求证：直线过定点．
【答案】（1） ；（2）；（3）见解析
【解析】（1）直线AM的方程为，直线AN的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．
试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为
所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知， AN=，由题知，所以⊥，=.
（2），，
所以 .
所以，
所以
（3）由题知直线和直线的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程，则直线的方程为，所以，联立方程，所以，，得或，
所以， 同理，，
因为轴上存在一点D，
所以，=，同理， 所以，=，所以，直线过定点.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
2. 直线被圆截得的弦长为，则实数的值为 （ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】由圆，则圆心为：，半径为：，圆心到直线的距离为：，又，即，解得或.
故选D.
【考点】直线和圆的位置关系；点到直线距离公式.
3. 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是________.
【答案】.
【解析】由题意知在直线上运动，设直线与圆相切于点.当即点与点重合时，显然圆上存在点符合要求，当时，过做圆的切线，切点之一为点，此时对应圆上任意一点，都有，故要存在，只需，特别的，当时，有，符合条件的的取值范围.
【考点】直线和圆的位置关系.
4. 已知直线y=kx与圆x2+y2=3相交于M,N两点，则|MN|等于( )
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】直线过圆心，因此弦长为直径长．
【考点】直线与圆的位置关系．
5. 已知点，，若圆上恰有两点，，使得和 的面积均为，则的取值范围是 ． 【答案】（1，5） 【解析】由两点间距离公式知|AB|==5，由和 的面积均为知点M、N到直线AB的距离为2，由直线两点式方方程得直线AB的方程为，所以原点到直线AB的距离为=3，由题意结合图像知，5=3+2＞＞3-2=1.
考点:两点间距离公式；直线方程；点到直线距离公式；数形结合思想
6. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】注意到,知曲线是圆在直线y=1的上方部分的半圆；而直线知恒过定点A(2，4),如图:,由于B(-2,1),,当直线与圆相切时:解得,故知实数k的取值范围是
【考点】1．直线和圆的位置关系;２．数形结合法．
7. 已知实数x、y满足x2+y2=4，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知x2+y2=4得：，从而=，则直线与圆x2+y2=4有交点，所以有
，，所以选A.
【考点】数形结合.
8. 若曲线与直线有两个交点，则的取值范围是__________________. 【答案】 【解析】如图曲线表示的半圆， 如图，加在两条直线之间的直线与半圆有两个交点，利用圆心到直线距离等于半径，求相切的直线的纵截距，,所以,如图令一条直线的纵截距等于，所以的取值范围.
【考点】1,.数形结合；2.圆的方程.
9. 直线被圆截得的弦长为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】将圆化为标准方程得：，圆心坐标为(1,2),半径为，圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长为.
【考点】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
10. 圆：上的点到直线的距离最小值是（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求．
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【答案】（1）y=0或；（2）0≤a≤．
【解析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用MA=2MO，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．
解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：，d＝，得：．
故所求切线为：． 5′
（2）设点M(x，y)，由，知：，
化简得：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中．
解之得：0≤a≤． 5′
【考点】直线和圆的方程的应用．
12. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为，点为弦AB的中点，PC的斜率为，
直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程即
【考点】圆的方程，直线方程点斜式
13. 直线kx－y＋6=0被圆x2＋y2=25截得的弦长为8，求k的值．
【答案】
【解析】直线被圆所截，得到弦心距公式,再代入点到直线的距离公式得到. 试题解析：可知弦心距为=3．代入点到直线的距离公式： ,平方解方程得：.
【考点】1.直线与圆相交；2.弦心距.
14. 过点的直线,将圆形区域分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】要使得两部分面积之差最大,则两部分中肯定存在一个小扇形,只要使其面积最小即可.只有当时,扇形面积最小.所以,过点,由点斜式有直线为.
【考点】直线与圆的位置关系.
15. 直线与曲线有且仅有1个公共点，则b的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】
【解析】曲线 化简为 ,所以曲线表示单位圆在轴及其右侧的半圆.其上顶点为,下顶点,直线与直线平行,表示直线的纵截距，将直线上下平移,可知当直线①时，与曲线有一个交点；②与曲线在第四象限相切时，只有一个交点，即，此时；③经过时，即其纵截距时，与曲线有两个交点,所以与曲线有两个交点.
【考点】直线与半圆的位置关系;纵截距的应用.
16. 已知圆.
(1)已知不过原点的直线与圆相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)求经过原点且被圆截得的线段长为2的直线方程.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】（1）先设直线的方程，确定圆心的坐标及半径，进而由圆心到直线的距离等于半径计算出参数的值，从而可写出直线的方程；（2）先检验所求直线的斜率不存在时，是否满足要求；然后设所求直线方程，根据弦长为2，圆的半径，确定圆心到直线的距离， 最后运用点到直线的距离公式得，从中求解即可得到，进而写出直线的方程，最后综合两种情况写出所求的直线方程即可.
试题解析：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零
设直线方程为 1分
由圆可得
∴圆心到切线的距离等于圆半径 3分
即= 4分
∴或 5分
所求切线方程为：或 6分
当直线斜率不存在时，直线即为轴，此时，交点坐标为，线段长为2，符合
故直线 8分
当直线斜率存在时，设直线方程为，即
由已知得，圆心到直线的距离为1 9分 则 11分
直线方程为
综上，直线方程为或 12分.
【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；3.直线的方程.
17. 曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为曲线表示的图形是一个半圆. 直线表示恒过点（2,4）的直线.如图所示.因为E(-2，1)，A(2，4).所以.因为直线AC与圆相切.由圆心到直线的距离为半径可得. .解得.所以符合题意的实数k的取值范围是.故选A.
【考点】1.圆的方程，2.直线过定点的问题.3.直线与圆的位置关系.4.数学结合的思想.
18. 点是直线上动点，是圆:的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆:的圆心为，半径为，由圆的性质知：，四边形的最小面积是，∴的最小值，（是切线长），∴，圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵，∴，故选D．
【考点】直线与圆的位置关系．
19. 过圆上的一点的圆的切线方程是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为原点，设切点为,所以，所以切线斜率为，所以此切线方程为，即，故A正确。
【考点】圆的切线方程。
20. 已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】表示圆上的点，与点（-2，0）的连线的斜率,结合图形，只需求两条切线的斜率，即得的最大值和最小值，而两切线的倾斜角分别为30°，150°，所以，的最大值和最小值分别为，－，故选D。
【考点】斜率的坐标计算公式，直线与圆的位置关系。
点评：中档题，利用数形结合思想，将问题转化成求直线斜率的范围。
21. 已知圆关于直线对称,圆心在第二象限,半径为.
(1)求圆的方程;
(2)是否存在直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。
【答案】（1）
（2），，.
【解析】（1）由题意知：圆心（-1，2），半径，圆C：（x+1）2+（y-2）2=5.
（2）在轴、轴上的截距相等且不为0时，设存在直线：与圆相切,则圆心到直线的距离为半径。所以，，或3，直线方程为，；
在轴、轴上的截距相等且不为0时，设存在直线：与圆相切,则有，所以，，即，综上知，存在直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等，直线方程为，，.
【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系。
点评：中档题，本题综合考查圆的方程，直线与圆的位置关系。在研究直线与圆的位置关系时，通常可选择“代数法”或“几何法”，圆的“特征直角三角形”更为常用。本题（2）易忽视截距为0的情况。
22. 直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
