高一数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
- 格式：docx
- 大小：1.44 MB
- 文档页数：31
高一数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
1. 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 ． 【答案】-1或3 【解析】圆心到直线的距离，弦长的一半为，，由于半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，因此，解得. 【考点】直线与圆相交求弦长问题. 2. 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切，切点分别为、，另一圆与圆、轴及直线均相切，切点分别为、。 （1）求圆和圆的方程； （2）过点作的平行线，求直线被圆截得的弦的长度； 【答案】（1）圆的方程为，圆的方程为 （2） 【解析】试题分析:（1）根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.（2）直线和圆相交，根据半径，弦长的一半，圆心距求弦长.（3）圆的弦长的常用求法：（1）几何法：求圆的半径，弦心距，弦长，则
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
试题解析:解（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在
的角平分线上，同理，也在的角平分线上，
即三点共线，且为的角平分线，
的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，
圆的方程为； 3分
设圆的半径为，由，得：,
即，，圆的方程为：； 6分
（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，
此弦所在直线方程为，即，
圆心到该直线的距离，则弦长= 3分
【考点】（1）圆的方程（2）直线和圆相交求弦长问题.（3）点到直线距离公式.
3. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6）先后抛两次，将得到的点数分别记为a，b． （1）求满足条件a+b≥9的概率；
（2）求直线ax+by+5=0与x2+y2=1相切的概率
（3）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】想列出基本事件；（1）找出满足条件的基本事件，根据古典概型公式求出概率；（2）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径和点到直线距离公式求出满足的条件，找出满足条件的基本事件，再根据古典概型知识求出满足的概率；（3）列出满足条件的基本事件数，再根据古典概型知识求出满足的概率．
试题解析：（1） 先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,
事件总数为．
满足条件的基本事件有10种 （基本事件略） 2分
满足条件的概率是 4分
（2）先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,
事件总数为．
因为直线与圆相切，所以有
即：， 6分
由于．所以，满足条件的情况只有
或两种情况．
所以，直线与圆相切的概率是 8分
（3）先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,
事件总数为因为，三角形的一边长为
所以，当时，， 种
当时，， 种
当时，， 种 11分
当时， 种
当时，
种
当时，， 种
故满足条件的不同情况共有种．
所以，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为． 14分
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线距离公式；古典概型
4. 已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线相切
（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长．
（2）过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N求直线MN的方程
（3）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3），且
【解析】（1）先由点到直线距离公式求出原点到直线的距离即为圆C的半径，再写出圆C的方程；（2）先求出以G为圆心|GM|的方程，圆G的方程与圆C方程相减就是其公共弦MN所在的直线方程；（3）先根据直线的方程求出的斜率，由直线⊥，求出的斜率，设出的斜截式方程，将直线方程与圆C方程联立，消去y化为关于x的方程，设出，根据韦达定理将，用直线在y轴上截距b表示，由判别式大于0得到关于b的不等式，将∠POQ为钝角转化为，利用数量积的坐标运算，再列出关于b的不等式，这两个不等式联立就解出b的取值范围．
试题解析：（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，
，所以圆的标准方程为： 2分
所以圆心到直线的距离 3分 4分
（2）因为点,所以,
所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）
又圆方程为： （2），由得直线方程： 8分
（3）设直线的方程为：联立得：，
设直线与圆的交点，
由，得， （3） 10分
因为为钝角，所以,
即满足，且与不是反向共线，
又，所以 （4）
由（3）（4）得，满足，即， 12分
当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，
故直线纵截距的取值范围是，且 14分
【考点】点的直线的距离公司；圆的标准方程；圆与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；设而不求思想
5. 已知实数x、y满足x2+y2=4，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知x2+y2=4得：，从而=，则直线与圆x2+y2=4有交点，所以有
，，所以选A.
【考点】数形结合.
6. 已知圆：，直线经过点，
（1）求以线段为直径的圆的方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，求直线的方程．
【答案】（1）圆的方程为；（2）直线的方程为：或.
【解析】（1）将圆化成标准方程，得圆心为，半径为2．从而得到的中点，得所求圆心坐标，再根据两点的距离公式算出半径，即得以线段为直径的圆的方程；
（2）设直线的方程为：，根据题意等腰中，利用点到直线的距离公式建立关于的等式，解之可得实数的值，得到直线的方程．
试题解析：（1）将圆的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.所以的中点，可得，所以，即圆的方程为；
设直线的方程为：，
，且为等腰直角三角形，，
因此圆心到直线的距离
解之得或，所求直线的方程为：或.
【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．
7. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为，点为弦AB的中点，PC的斜率为，
直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程即
【考点】圆的方程，直线方程点斜式
8. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圆的方程可知圆心为，所以，因为点是弦的中点，所以，从而，可得，由直线的点斜式可得直线的方程：即，选D.
【考点】1.直线与圆的位置关系；2.两直线垂直的判定与性质；3.直线的方程.
9. 已知圆:，过定点作斜率为1的直线交圆于、两点，为线段的中点.
（1）求的值；
（2）设为圆上异于、的一点，求△面积的最大值；
（3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有 , 求的最小值，并求取最小值时点的坐标.
【答案】（1）2；（2）；（3）；．
【解析】（1）通过⊥求解的值；
（2）当为与垂直的直径，且与较远的直径端点时，△面积最大；
（3）通过△为直角三角形勾股定理列出关系式，然后通过进行转化，
找出点所在轨迹，然后利用点到直线的距离即可找到的最小值，进而求出点的坐标．
试题解析：（1）由题知圆心，又为线段的中点，∴⊥，
∴，即，∴．
（2）由（1）知圆的方程为，∴圆心，半径，
又直线的方程是，
∴圆心到直线的距离，．
当⊥时，△面积最大，．
（3）∵⊥，∴，
又，∴．
设，则有，整理得，即点在上，
∴的最小值即为的最小值，
由解得
∴满足条件的点坐标为． 【考点】1.弦所在直线方程的求解；2.最值问题．
10. 已知圆的方程为.设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】圆的方程可整理为．如图，设该圆圆心为，与的交点为，则，，故四边形的面积为．
【考点】圆的弦长及特征三角形．
11. 若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】如图所示,当时， ，弦心距 ；即
解得：或，故选D
【考点】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式.
12. 若圆心在直线上，半径为的圆M与直线相切，则圆M的标准方程是_____________
【答案】或
【解析】设圆心M为.所以圆的方程为.又圆与直线相切.所以由圆心到直线的距离等于半径可得.所以解得或.所以所求的圆的方程为或.故填或.
【考点】1.直线与圆的位置关系.2.待定系数法求圆的方程.
13. 直线与圆相交于A、B两点，则的最小值是（ ）
A. B. C.2 D. 1
【答案】A；
【解析】∵的圆心O（0，0），半径r=2，∴直线必过点（0，1），则点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，∴点（0，1）在圆内． 如图，
|AB|最小时，弦心距最大为1，∴故答案为：A．
【考点】两点间的距离公式．
14. 已知圆和点（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求正实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点的圆的两条弦互相垂直，设分别为圆心到弦的距离．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求两弦长之积的最大值．
【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）10
【解析】本题第（1）问，本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（要求过点M的切线l的斜率，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案；
第（2）问，由基本不等式可求出两弦长之积的最大值．
解：（１）
得
∴切线方程为即
（Ⅰ）当都不过圆心时，
设于，则为矩形，
当中有一条过圆心时，上式也成立
（Ⅱ）
∴
（当且仅当时等号成立）
【考点】直线和圆的方程的应用；点与圆的位置关系．
点评：本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查分类讨论思想与转化思想.
15. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】即，连接直线上的一点P与圆心
C(3，0)，切点Q与圆心，由直角三角形PQC可知，为使切线长的最小，只需PC最小，因此，PC垂直于直线。
由勾股定理得，切线长的最小值为：，故选A。
