高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象和性质练习 苏教版必修4(2021年整理)
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1。4 三角函数的图象和性质
一、 填空题
1。 函数y＝sin x－|sin x｜的值域是__________．
2。 函数f(x)＝2sin错误!，x∈[－π，0］的单调递增区间是__________．
3。 函数y＝2sin错误!错误!的值域是__________．
4。 若函数f（x）＝sin x＋φ3（φ∈［0，2π］)是偶函数,则φ＝________．
5。 若直线x＝错误!（0≤k≤1）与函数y＝tan错误!的图象不相交，则k＝__________．
6。 函数y＝lg（sin x）＋错误!的定义域为__________．
7. 如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点错误!中心对称,那么｜φ｜的最小值为________．
8。 在平面直角坐标系xOy中,若函数f（x)＝sin错误!(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为错误!，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈错误!，则x0的值为__________．
9。 将函数y＝2sin错误!(ω〉0)的图象分别向左、向右各平移错误!个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为__________．
10. 已知函数f(x)＝sin错误!(x∈R)，则下列结论正确的是________．(填序号）
① 函数f(x）的最小正周期为π；
② 函数f（x)是偶函数；
③ 函数f(x）的图象关于直线x＝错误!对称；
④ 函数f(x）在区间错误!上是增函数．
二、 解答题
11. 已知f(x）＝cos（2x＋φ)错误!，且f(错误!)＝错误!。
(1） 求φ的值；
(2） 在给定的坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．
12已知函数f(x）＝Asin（ωx＋φ),x∈R错误!的周期为π，且其图象上一个最低点为M错误!。
（1） 求f(x）的解析式；
（2） 当x∈错误!时，求f（x）的最值．
13如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面间的距离为0。8
m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB.设点B与地面间的距离为h.
（1) 求h与θ之间的函数解析式;
（2） 设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
1. ［－2,0] 解析：y＝错误!函数的值域为［－2，0］．
2。 错误! 解析：令2kπ－错误!≤x－错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z，解得2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!,k∈Z.又－π≤x≤0,所以－错误!≤x≤0.
3。 [0,2] 解析：因为－错误!≤x≤错误!，所以0≤2x＋错误!≤错误!,所以0≤sin错误!≤1，所以y＝2sin(2x＋错误!)的值域为[0，2]．
4. 错误! 解析：因为f(x)是偶函数，所以错误!＝错误!＋kπ（k∈Z），所以φ＝错误!＋3kπ(k∈Z)．又φ∈［0，2π］,所以φ＝错误!.
5. 错误! 解析:由题意得2×错误!＋错误!＝错误!＋mπ,m∈Z，则k＝错误!＋m,m∈Z.由于0≤k≤1，所以k＝错误!。
6. 错误!
解析：要使函数有意义必须有错误!
解得错误!
∴ 2kπ＜x≤错误!＋2kπ（k∈Z)，
∴ 函数的定义域为错误!。
7。 错误! 解析：由题意得3cos错误!＝3cos错误!＝0，∴ 错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，
∴ φ＝kπ－错误!，k∈Z，∴ k＝0时｜φ｜取最小值错误!。
8. 错误! 解析：错误!＝错误!，则T＝π＝错误!，得ω＝2，sin错误!＝0,则2x0＋错误!＝kπ，k∈Z，∴ x0＝错误!－错误!.又x0∈[0，错误!］，∴ x0＝错误!.
9。 2 解析：平移后得到的函数分别为y＝2sin（ωx－错误!ω－错误!），y＝2sin错误!，它们的对称轴方程分别为ωx－错误!ω－错误!＝kπ＋错误!，ωx＋错误!ω－错误!＝kπ＋错误!，k∈Z，即ωx＝错误!ω＋ π4＋kπ＋错误!，ωx＝－错误!ω＋错误!＋kπ＋错误!，k∈Z，而ωx＝－错误!ω＋错误!＋kπ＋错误!可以变形为ωx＝－错误!ω＋错误!＋kπ＋π＋错误!，则错误!ω＋错误!＋kπ＋错误!＝－错误!ω＋错误!＋kπ＋π＋错误!，所以ω＝2。
10. ①②④ 解析：f(x)＝sin错误!＝－cos 2x，故其最小正周期为π，①正确；∵
f(x）＝－cos 2x,∴ f（x)是偶函数，②正确;由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知,函数f（x）的图象不关于直线x＝错误!对称,③错误；由函数f（x）的图象易知，函数f（x）在错误!上是增函数，④正确．故正确的为①②④.
11。 解：（1) ∵ f错误!＝cos错误!
＝cos(错误!＋φ）＝－sin φ＝错误!，
又－错误!＜φ＜0,∴ φ＝－错误!。
（2） f(x)＝cos错误!，列表如下：
2x－错误! －错误! 0 错误! π 错误! 错误!
x 0 错误! 错误! 错误! 错误! π
f（x） 错误! 1 0 －1 0 错误!
图象如图:
12. 解：(1) 由最低点为M错误!，得A＝2.
由T＝π,得ω＝错误!＝错误!＝2.
由点M错误!在图象上，得2sin（错误!＋φ）＝－2，即sin错误!＝－1,
∴ 错误!＋φ＝2kπ－错误!（k∈Z)，即φ＝2kπ－错误!π，k∈Z.
又φ∈错误!，∴ φ＝错误!，
∴ f(x)＝2sin错误!。
(2) ∵ x∈错误!，∴ 2x＋错误!∈错误!.
∴ 当2x＋错误!＝错误!，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋错误!＝错误!,即x＝π12时，f（x）取得最大值3.
13。 解:（1) 以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 则以Ox为始边,OB为终边的角为θ－错误!，故点B的坐标为（4.8cos错误!，4。8sin错误!）,
∴ h＝5.6＋4.8sin错误!.
（2) 点A在圆上转动的角速度是错误! rad/s，故t s转过的弧度数为错误!t，
∴ h＝5.6＋4.8sin错误!，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10。4 m.
由sin错误!＝1，得错误!t－错误!＝错误!,∴ t＝30 s，
∴ 缆车到达最高点时,用的最少时间为30 s.
