解三角形的实际应用举例

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解直角三角形应用举例

【例】某灯塔B在观测点A的北30°的方向，船M在灯塔正东方向，且在观测点A的北60°东的方向距A30海里，求若船M在上午11点10分出发，下午1点40分时驶抵灯塔B处，求船的速度（精确到0.1海里）.

分析只需延长MB，归结为解直角三角形问题来加以解决.

解：延长MB和正北的方向线相交于C，得90ACB.在MCARt中，有60CAM，所以

.315233060sin;15213060cos30cosAMMCCAMAMAC

又，在ABCRt中，90ACB，所以

35331530tanACBC.

于是，有

31035315BCMCMB.

据题意，船M行驶到B只用时2.5小时，所以，船的速度为

9.673.143425310（海里/时）

答：这艘船的速度是6.9海里/时.

说明由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设xBM（海里），证

,1521212121AMACxBMABBC

于是，根据勾股定理，有

,67549,301522222xxx

由于0x，所以得

310x.

下同.

【例】某水坝的断面是梯形，上宽6DC（米），底角60A，坡BC的坡比2.1:1i，坝高为20米，求坝底的宽（精确到0.1米）.

分析分别解FBCAEDRt,Rt.

解：在AEDRt中，有

3320332060cotDEAE；

在BFCRt中，有

2.11FBCF

∴ ,242.120BF

又，DCEF，所以

5.4153.11302463320AB（米）

答：坝底宽约为41.5米.

解直角三角形的应用分类

解直角三角形的应用

一、关于坡度问题、

1、（2009•深圳）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：3 ，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．

2、2009•山西）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡上DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深．（精确到0.1米，2≈1.41， 3≈1.73

3、（2009•本溪）如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.41， 3≈1.73 62.4）

4、2008•泰州）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）为1：1.2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少土方？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？

5、（2008•怀化）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长51062 m，坡度i=9：5．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；

解三角形应用举例

一、测量距离问题

例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为 km.

答案 64

解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32 km.

在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，

由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.

∴AB＝64 km.

∴A，B两点间的距离为64 km.

(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.

答案 900

解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.

又∠PBA＝∠PBQ＝60°，

∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ. 又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.

在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，

故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.

二、测量高度问题

例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为

答案 30＋303

解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，

sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，