解三角形的实际应用举例

【例】 某灯塔B在观测点A的北30°的方向，船M在灯塔正东方向，且在观测点A的北60°东的方向距A30海里，求若船M在上午11点10分出发，下午1点40分时驶抵灯塔B处，求船的速度（精确到0.1海里）.

分析 只需延长MB，归结为解直角三角形问题来加以解决.

解：延长MB和正北的方向线相交于C，得90ACB.在MCARt中，有60CAM，所以

.315233060sin;15213060cos30cosAMMCCAMAMAC

又，在ABCRt中，90ACB，所以

35331530tanACBC.

于是，有

31035315BCMCMB.

据题意，船M行驶到B只用时2.5小时，所以，船的速度为

9.673.143425310（海里/时）

答：这艘船的速度是6.9海里/时.

说明 由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设xBM（海里），证

,1521212121AMACxBMABBC

于是，根据勾股定理，有

,67549,301522222xxx

由于0x，所以得

310x.

下同.

【例】 某水坝的断面是梯形，上宽6DC（米），底角60A，坡BC的坡比2.1:1i，坝高为20米，求坝底的宽（精确到0.1米）.

分析 分别解FBCAEDRt,Rt.

解：在AEDRt中，有

3320332060cotDEAE；

在BFCRt中，有

2.11FBCF

∴ ,242.120BF

又，DCEF，所以

5.4153.11302463320AB（米）

答：坝底宽约为41.5米.

第3节 解三角形在实际生活中的应用

1、 小红为了测量某一树身的高度，他站在A处看树梢，测得此时的仰角为45°，前进200m到达B处，测得此时的仰角为60°，小红身高1.8m,试计算树身的高度是多少米？

2、 为了测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为23km,∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A，B两点间的距离。

3、(2009宁夏、海南)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量。A，B，M，N在同一铅垂平面内（如图）飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离。请设计一个方案。包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

4、已知海岛A四周8海里内有暗礁。今有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，望见此岛在北偏东30°。如果货轮不改变航向继续前进，有无触礁的危险？

5、甲船在A处发现乙船在方位角45°与A相距10海里的C处正以20海里/小时的速度向南偏东75°方向航行。已知甲船的速度是203海里/小时，问：甲船沿什么方向航行，需多长时间才能与已船相遇？

解直角三角形在实际生活中应用

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。

一、测量高度和距离

直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。

二、解决倾斜和斜率问题

直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。

三、计算不可测量的距离

在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。 四、导航和定位

直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。

五、解决工程问题

在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。

六、解决影子和光线问题

在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。

解直角三角形经典题型应用题

1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？

解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到：

$x^2 + 3^2 = 2^2$

化简得：

$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$

由于x是高度，因此应该为正数。但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！

2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？

解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到：

$tan(30) = \frac{h}{50}$

化简得：

$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 28.87$

因此，这个高楼的高度约为28.87米。

3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？

解：设河宽为w，根据三角函数，得到：

$tan(45) = \frac{w}{20}$

化简得：

$w = 20\times tan(45) = 20$

因此，河宽为20米。

4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？

解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。又根据三角函数，得到：

$tan(30) = \frac{3x}{y}$

$tan(60) = \frac{2x}{y}$

化简得：

$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$