解三角形应用举例
一、测量距离问题
例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为 km.
答案 64
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32 km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.
∴AB＝64 km.
∴A，B两点间的距离为64 km.
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ. 又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，
故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为
m.
答案 30＋303
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， 由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，
专题22解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际
问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注
意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造
直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型
图1图2图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共
边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例
1．（
2023年四川省中考数学真题）
“科技改变生活
”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航
拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机
A看建筑物顶部
B的仰角为45，看底部
C的俯角为60，无人机
A到该建筑物BC的水平距离
AD为
10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：
21.41
，
31.73）
【答案】该建筑物BC的高度约为27.3米
【分析】由题意可知，45BAD，60CAD，ADBC
，根据三角形内角和定理和等角对等边的性
质，得到
10BDAD米，再利用锐角三角函数，求出
103CD米，即可得到该建筑物BC的高度．
【详解】解：由题意可知，45BAD，60CAD，ADBC
，90ADB，
18045ABDADBBADBAD，==10BDAD米，
在RtACD中，
tantan60103CDADCADAD米，
1010327.3BCBDCD米，答：该建筑物
BC的高度约为27.3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形
28.2.3 解直角三角形在实际中的一般应用
【知识与技能】
本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的基本问题.
【过程与方法】
1.用解三角形的有关知识去解决简单的基本问题的过程.
2.选择合适的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把基本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力.
【情感态度】
通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜悦.
【教学重点】
引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把基本问题转化为解直角三角形的问题来解决.
【教学难点】
使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.
一、知识回顾
1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形
2.直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+62=c2 (勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：baAcbAcaAtancossin，，.
把∠A换成∠B同样适用.
二、思考探究，获取新知 我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系 解直角三角形，那么请思考：对于简单的基本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？
如图，河宽AB(假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB = 30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号）
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值.
【教学说明】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.
三、典例精析，掌握新知
例1 如图，为了测量河两岸A、两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC =m， ∠ACB = α那么AB等于（ ）
28.2解直角三角形的实际应用——仰角、俯角及方位角的重难点解析
今天我说课的课题是28.2解直角三角形的实际应用（第一课时），下面我将从教材分析、教法学法、教学程序、设计思路四个方面进行阐述。
一、教材分析
（一）教材地位和作用
这是一节复习课，是在学生学习了《解直角三角形》和《解直角三角形的应用》后进行的阶段性小结。《解直角三角形的应用》是第二十八章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学中都具有重要的地位，在中考中是个比较重要的考点。（分值约占6---10分，常出现在第19题—第21题）
（二）教学目标
1、知识技能目标： 进一步理解并掌握直角三角形中各元素之间的内在联系，会利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角及方位角等有关的综合性实际问题.
2、过程方法目标：在将实际问题抽象为数学问题，画出示意图，转化为解直角三角形问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、情感态度目标：渗透数形结合和数学建模的数学思想，激发学生学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；培养学生理论联系实际，勇于探索敢于创新的精神.
（三）教学重点与难点
重点：熟练解直角三角形及会利用解直角三角形的知识去解决有关仰角、俯角及方位角的实际问题。
难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题。
二、教法学法 （一）教法分析
本节课着重采用的是探究启发、分组讨论、讲练结合等教学方法，通过多媒体课件，以历年中考题创设问题情境，引出课题，简洁回顾原有的知识，引导学生从实际应用中建立数学模型。
（二）学法分析
通过独立思考、小组合作、讲练结合、学生讲评等学习方式，理解直角三角形中各元素之间的内在联系，发挥学生的主观能动性。使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析、解决问题的能力和综合运用知识的能力。
三、教学程序
