二次函数的应用实际问题

全国中考数学试题分类解析汇编

专题23：二次函数的应用（实际问题）

一、选择题

1. （2012四川资阳3分）如图是二次函数2y=ax+bx+c的部分图象，由图象可知不等式2ax+bx+c<0的解集是【 】

A．15 C．x<1且x>5 D．15

【答案】D。

【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。

【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出2ax+bx+c<0的解集：

由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。

由图象可知：2ax+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，

∴x＜－1或x＞5。故选D。

二、填空题

1. （2012浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为21(4)312yx，由此可知铅球推出的距离是 ▲ m。

【答案】10。

【考点】二次函数的应用。

【分析】在函数式21(4)312yx中，令0y，得

21(4)3012x，解得110x，22x（舍去），

∴铅球推出的距离是10m。

2. （2012湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 ▲ m才能停下来．

【答案】600。

【考点】二次函数的应用。1028458

【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。 ∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值。

∴2060s60041.5最大值，即飞机着陆后滑行600米才能停止。

3. （2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ▲ 秒．

【答案】36。

【考点】二次函数的应用

【分析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，

∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，

∴A，B关于对称轴对称。

则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒。

∴从O到D需要10+8=18秒。∴从O到C需要2×18=36秒。

三、解答题

1. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：11zx2，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：2231z= x x412；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值． （参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）

【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，

则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：1kyx。

将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，

∴112000yx（1≤x≤6，且x取整数）。

根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：

49a+c=10049144a+c=10144，解得：a=1c=10000。

∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。

（2）当1≤x≤6，且x取整数时：

=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。

∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。

当7≤x≤12时，且x取整数时：

W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣12x2+1900。

∵a=﹣12＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，

∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。

∵22000＞18975.5，

∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。

（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5××（1﹣50%）=18000，

设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：17809t=20。

∵809≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。

∴a≈57。

答：a整数值是57。

【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。

【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。

（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。

（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5××（1-50%）=18000，进而求出即可。 2. （2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴1a60

∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= 160 (x－6)2+2.6

（2）当h=2.6时，y= 160 (x－6)2+2.6

∵当x=9时，y=160 (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。

∵当y=0时，即160 (18－x)2+2.6=0，解得x=6+156＞18，∴球会过界。

（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得2ha36。

x=9时，y=2h36 (9－6)2+h23h4＞2.43 ①

x=18时，y=2h36 (18－6)2+h=h38≤0 ②

由① ②解得h≥83。

∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥83。

【考点】二次函数的性质和应用。

【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。

（2）利用h=2.6，当x=9时，y=160 (9－6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较，即可得出结论。

（3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y＞2.43；由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。

3. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）

（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x的代数式表示）；

（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

4. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：

时间t（秒） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …

行驶距离s（米） 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 …

（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；

（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；

（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？

②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较11st与22st的大小，并解释比较结果的实际意义．

【答案】解：（1）描点图所示：

（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2＋bt＋c，

∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。

又由点（0.2，2.8），（1，10）可得： 0.04a+0.2b=2.8a+b=10，解得：a=5b=15。

经检验，其余各点均在s=－5t2+15t上。

∴二次函数的解析式为：2s5t15t。

（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

∵22345s5t15t=5t24，∴当t=32时，滑行距离最大，为454。

因此，刹车后汽车行驶了454米才停止。

②∵2s5t15t，∴22111222s5t15ts5t15t，。

∴22111222121122s5t15ts5t15t==5t15==5t15tttt ，。

∵t1＜t2，∴12122112ss=5t155t15=5tt0tt>。∴1212sstt>。

其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。

【分析】（1）描点作图即可。

（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。

（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。