人教版高中数学必修五导学案：1.1.1正弦定理

1 §1.1.2正弦定理

授课

时间 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人 白美利

学习

目标 1.正弦定理及其拓展.

2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数.

3.三角形面积公式.

重点难点 重点:正弦定理的应用.

难点:正弦定理的应用.

学习

过程

与方

法 自主学习：

正弦定理:_________________________.

正弦定理的变形公式：_________________________.

问题1.在ABC中,已知040,28,20Aba,求B(精确到01)和c(保留两个有效数字)

问题2.如图课本2-7(1)所示,在ABCRt中,斜边AB是ABC外接圆的直径(设ABCRt外接圆的半径为R)因此RCcBbAa2sinsinsin.这个结论对于任意三角形(课本图2-7(2),图2-7(3))是否成立?

问题3.在ABCRt中,090C,则ABC的面积abS21.对于任意ABC,已知ba,及C,则ABC的面积CabSsin21成立吗?

精讲互动：

例1.在ABC中,角CBA,,所对的边分别为cba,,.已知2a,3b,

045A,求角B.

小结:在ABC中,已知ba,和A时求角B的各种情况:

（1）.角A为锐角: ①若Abasin,则一解. ②若baAbsin,则两解.

③若ba,则一解

(2).角A为直角ba,则一解.

(3).角A为钝角ba,则一解.

例2在ABC中,角CBA,,所对的边分别为cba,,.已知2,32,300bcA,求

2 ABC的面积.

达标训练：

1.判断下列各题角B的解的个数:

1.030,14,7Aba.

2.0150,25,30Aba.

3.0135,50,72Aba.

4.026,40,30Aba.

1.1正弦定理、余弦定理习题课

【学习目标】

1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；

2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

【自主检测】

1.在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.

(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．

2.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；

(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．

【典型例题】

例1.在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

例2.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B.

【目标检测】

1.在△ABC中，已知b＝asinB，且cosB＝cosC，则△ABC的形状是( )

A．等边三角B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )

A．a＝8 b＝16 A＝30°有两解 B．b＝18 c＝20 B＝60°有一解

C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解

3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )

A.32 B.34 C.32或3 D.34或32

4*.在△ABC中，若tanA－tanBtanA＋tanB＝c－bc，求角A

【总结提升】

1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；

2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用

高二数学圆锥曲线导学案

蒋红伟

1 1.1.1

正弦定理(一)

【学习要求】 1．掌握正弦定理的内容． 2．了解正弦定理的证明方法．

3．能初步运用正弦定理解三角形．

【学法指导】

1．学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理．

2．应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化． 【知识要点】 1．在△ABC中，A＋B＋C＝ ，A2＋B2＋C2＝ .

2．在Rt△ABC中，C＝π2，则ac＝ ，bc＝ .

3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 ．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．

4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ，这个比值是__________

【问题探究】

探究点一 正弦定理的提出和证明

问题 在直角三角形和等边三角形中，容易验证asin A＝bsin B＝csin C成立，这一结论对更一般锐角三角形和钝角三角形还成立吗？

探究1 在锐角△ABC中，根据右图证明：asin A＝bsin B＝csin C .

探究2 在钝角△ABC中(不妨设A为钝角)，根据右图证明：asin A＝bsin B＝csin C .

小结 综上可知，对于任意三角形，均有asin A＝bsin B＝csin C，此即正弦定理．

探究点二 正弦定理的几何解释

问题 如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有asin A＝bsin B＝csin C＝2R，这一关系对任意三角形也成立吗？

探究1 如图所示，锐角三角形ABC和它的外接圆O，外接圆半径为R，等式asin A＝bsin B＝csin C＝2R成立吗？

探究2 如图所示，钝角三角形ABC，A为钝角，圆O是它的外接圆，半径为R，等式asin A＝bsin B＝csin C＝2R还成立吗？

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1.1.1 正弦定理(二)

[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.

知识点一 正弦定理及其变形

1.定理内容：asin A＝bsin B＝csin C＝2R.

2.正弦定理的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R；

(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

(4)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.

知识点二 对三角形解的个数的判断

已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a、b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：

(1)代数角度

由正弦定理得sin B＝bsin Aa，

①若bsin Aa>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.

②若bsin Aa＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.

③若bsin Aa<1，则满足条件的三角形个数为1或2.

(2)几何角度

图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝bsin A；

②a≥b 一解

bsin A

a

A为钝角或直角 a>b

一解

a≤b 无解

知识点三 三角形面积公式

任意三角形的面积公式为：

(1)S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.

(2)S△ABC＝12ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.

(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.