2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1.1.1 正弦定理(一)

1．1.1　正弦定理(一)

[学习目标]　1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明

方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．

知识点一　正弦定理

1．正弦定理的表示文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号

语言在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝asin Absin B

＝2Rcsin C

2.正弦定理的常见变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径．

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．a2Rb2Rc2R

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

(4)＝＝＝.a＋b＋csin A＋sin B＋sin Casin Absin Bcsin C

(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.

3．正弦定理的证明

(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：

sin A＝，sin B＝，acbc

∴c＝＝＝＝，asin Absin Bcsin 90°csin C∴＝＝．asin Absin Bcsin C

(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，

CD＝asin__B＝bsin__A，

∴＝，asin Absin B

同理，作AC边上的高BE，可得＝，asin Acsin C

∴＝＝.asin Absin Bcsin C

(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，

过B作BD⊥AC于D，则

BD＝asin(π－C)＝asin__C，

BD＝csin__A，故有asin C＝csin__A，

∴＝，asin Acsin C

同理，＝，∴＝＝.asin Absin Basin Absin Bcsin C

思考　下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直

角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC

中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案　B

解析　正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，

则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B.

知识点二　解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

思考　正弦定理能解决哪些问题？

答案　利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．

题型一　对正弦定理的理解

例1　在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述

或变形中错误的是( )

A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B

C.＝asin Ab＋csin B＋sin C

D．正弦值较大的角所对的边也较大

答案　B

解析　在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin asin Absin Bcsin C

B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．

当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a ≠b，故B错误．

根据比例式的性质易得C正确．

大边对大角，故D正确．

反思与感悟　(1)定理的内容：＝＝＝2R，在运用正弦定理进行判断时，要灵asin Absin Bcsin C

活使用定理的各种变形．

(2)如果＝，那么abcd

＝(b，d≠0)(合比定理)；a＋bbc＋dd

＝(b，d≠0)(分比定理)；a－bbc－dd

＝(a>b，c>d)(合分比定理)；a＋ba－bc＋dc－d

可以推广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝.a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1＋a2＋…＋anb1＋b2＋…＋bn

跟踪训练1　在△ABC中，下列关系一定成立的是( )

A．a>bsin A B．a＝bsin A

C．a

答案　D

解析　在△ABC中，B∈(0，π)，∴sin B∈(0，1]，∴ ≥1，1sin B

由正弦定理＝得a＝≥bsin A.asin Absin Bbsin Asin B

题型二　用正弦定理解三角形

例2　(1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．

(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．6

解　(1)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由＝得a＝＝＝10.asin Acsin Ccsin Asin C10×sin 45°sin 30°2

∵sin 75°＝sin(30°＋45

°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，2＋64

∴b＝＝＝＝20×csin Bsin Ccsin（A＋C）sin C10×sin 75°sin 30°2＋64

＝5＋5.26

∴B＝105°，a＝10，b＝5＋5.226

(2)∵＝，asin Acsin C

∴sin C＝＝＝，csin Aa6×sin 45°232

∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，

B＝75°，b＝＝＝＋1；csin Bsin C6sin 75°sin 60°3当C＝120°

时，B＝15°，b＝＝＝－1.csin Bsin C6sin 15°sin 120°3

∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，33

C＝120°.

反思与感悟　(1)已知两角与任意一边解三角形的方法．

首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两

边．

(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．

首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此

时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定

理求出第三条边．

跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

A．4 B．4 C．4 D．4236

(2)在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝______．2

答案　(1)C　(2)105°或15°

解析　(1)易知A＝45°，由＝得asin Absin B

b

＝＝＝4.asin Bsin A8·32226

(2)由正弦定理＝，asin Absin B得sin B＝＝＝.bsin Aa2sin 30°222

∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，

∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.

题型三　判断三角形的形状

例3　在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状．

解　由已知得＝，a2sin Bcos Bb2sin Acos A

由正弦定理得＝.sin2Asin Bcos Bsin2Bsin Acos A

∵sin A、sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B.

即sin 2A＝sin 2B.

∴2A＋2B＝π或2A＝2B.

∴A＋B＝或A＝B.π2

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

反思与感悟　(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边

的关系，也可以转化为角与角的关系．(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等．absin Asin B

跟踪训练3　在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．

解　由bsin B＝csin C，得b2＝c2，

∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，

由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，

∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC为等腰直角三角形．

1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是( )

A．asin A＝bsin B B．bsin C＝csin A

C．absin C＝bcsin B D．asin C＝csin A

答案　D

解析　由正弦定理＝＝，asin Absin Bcsin C

得asin C＝csin A.

2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，23

那么A等于( )

A．135° B．90° C．45° D．30°

答案　C

解析　由＝得sin A＝＝＝

，asin Absin Basin Bb2×32322

∴A＝45°或135°.

又∵a

3．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A等于( )3

A. B.π12π6

C. D.π4π3

答案　D

解析　在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B＝sin B，3

又∵sin B≠0，∴

sin A＝.32

又A为锐角，∴A＝.π3

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＝，则△sin Aacos Bbcos Cc

ABC是( )

A．等边三角形

B．直角三角形，且有一个角是30°

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形，且有一个角是30°

答案　C

解析　由题acos B＝bsin A，

又由正弦定理asin B＝bsin A，

∴sin B＝cos B，

又∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°.

同理C＝45°.故△ABC为等腰直角三角形．

5．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．2π33bc

答案　1

解析　由＝得sin C＝＝×＝，asin Acsin Ccsin Aa133212

又0＜C＜，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.所以＝＝＝

1.π3π

6π6bcsin Bsin Csinπ6

sinπ6

6．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝______，a＝________．π4

答案 225510

解析　由tan A＝2，得sin A＝2cos A，

由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，255