高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 专

- 1 - 专题五 平抛运动、圆周运动热点问题分析

突破 水平面内圆周运动的临界问题

1.水平面内圆周运动的临界问题

关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题.常见的是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题.通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法.

2.处理临界问题的解题步骤

(1)判断临界状态

有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态.

(2)确定临界条件

判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来.

(3)选择物理规律

当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解.

[典例1] (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(

)

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

C.ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度

D.当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg

[问题探究] (1)物体随圆盘共同转动时，哪个物体受到的摩擦力大？

(2)随着ω不断增大，哪个物体首先达到最大静摩擦力？谁先开始滑动？ - 2 - [提示] (1)根据Ff＝mω2r可知，b物体受到的摩擦力大.

(2)随着ω增大，b物体先达到最大静摩擦力，所以b物体先相对圆盘滑动.

[解析] 木块a、b的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力Ffm＝kmg相同.它们所需的向心力由F向＝mω2r知Fa

[答案] AC

[变式1] (多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在水平转盘上，且木块A、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的轻绳连接，木块与转盘之间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴O1O2转动.

开始时，绳恰好伸直但无弹力.现让该装置从静止开始转动，角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )

A.当ω>2kg3L时，A、B会相对于转盘滑动

B.当ω>kg2L时，绳子一定有弹力

C.ω在kg2L

D.ω在0

答案：ABD 解析：若木块A、B间没有轻绳相连，随着ω的逐渐增大，由Ff＝mω2r可知木块B先出现相对滑动.木块A、B间有轻绳相连时，木块B刚好要出现相对滑动，此时轻绳上弹力为零，以木块B为研究对象可知kmg＝mω2·2L，则ω＝kg2L.若木块A刚好要出现相对滑动，对木块B有FT＋kmg＝mω2·2L，对木块A有kmg－FT＝mω2L，则ω＝2kg3L.综上所述可知，当02kg3L时，木块A、B会相对于转盘滑动.故A、B、D正确，C错误.

突破 竖直面内圆周运动的临界问题

1.在竖直面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”.

2.轻绳和轻杆模型涉及的临界问题

轻绳模型 轻杆模型

常见

类型

均是没有支撑的小球

均是有支撑的小球

过最高

点的临

界条件 mg＝mv2r －

讨论

分析 (1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、轨道对小球产生弹力FN；

(2)不能过最高点v

(2)当0

(3)当v＝gr时，FN＝0；

(4)当v>gr时，FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大

考向1 轻绳模型

[典例2] 如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( ) - 4 -

A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来

B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力

C.人在最低点时对座位的压力等于mg

D.人在最低点时对座位的压力大于mg

[解析] 人过最高点时，FN＋mg＝mv2R，当v≥gR时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝2gR时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确.

[答案] D

[变式2] 如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小得多).现给小球一个水平向右的初速度v0，要使小球不脱离圆轨道，则v0应满足(取g＝10 m/s2)( )

①v0≥0 ②v0≥4 m/s ③v0≥25 m/s ④v0≤22 m/s

A.①和④ B.②或④ C.③或④ D.②和③

答案：C 解析：当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv2r，根据机械能守恒定律有12mv2＋2mgr＝12mv20，可得v0≥25 m/s；当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝12mv20，可得v0≤22 m/s，选项C正确.

考向2 轻杆模型

[典例3] (2017·山东烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( ) - 5 -

A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B.小球过最高点的最小速度是gR

C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

[解析] 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝gR时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若vgR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝mv2R，随v增大，F增大，故C、D均错误.

[答案] A

[变式3] 如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧管壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )

A.小球通过最高点时的最小速度vmin＝gR＋r）

B.小球通过最高点时的最小速度vmin＝gR

C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

答案：C 解析：小球沿管道上升到最高点时的速度可以为零，选项A、B错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球的重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN－Fmg＝ma，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧 - 6 - 管壁对小球无作用力，选项C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球的速度大小有关，选项D错误.

解决竖直平面内圆周运动的关键点

(1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型.

(2)确定临界点：v临界＝gr，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点.

突破 平抛、圆周运动综合问题

1.题目特点：此问题一般涉及圆周运动、平抛运动(或类平抛运动)、匀变速直线运动等多个运动过程，常结合功能关系进行求解.

2.解答突破

(1)分析临界点：对于物体在临界点相关多个物理量，需要区分哪些物理量能够突变，哪些物理量不能突变，而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口.

(2)分析每个运动过程的运动性质：

①若为圆周运动，应明确是水平面内的匀速圆周运动，还是竖直面内的变速圆周运动，机械能是否守恒.

②若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度方向的力是哪个力.

考向1 水平面内圆周运动与平抛运动的综合问题

[典例4] (2017·山西八校一联)如图所示，质量是1 kg的小球用长为0.5 m 的细线悬挂在O点，O点距地面竖直距离为1 m，如果使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动，若细线最大承受拉力为12.5 N，(取g＝10 m/s2)求：

(1)当小球的角速度为多大时，细线将断裂；

(2)线断裂后小球落地点与悬点的水平距离.

[解析] (1)当细线承受的拉力恰为最大时，对小球受力分析，如图所示：

- 7 - 竖直方向FTcos θ＝mg 得：θ＝37°

向心力F向＝mgtan 37°＝mω2Lsin 37°

解得：ω＝5 rad/s.

(2)线断裂后，小球做平抛运动，则其平抛运动的初速度为：v0＝ωLsin 37°＝1.5 m/s

竖直方向：y＝h－Lcos 37°＝12gt2

水平方向：x＝v0t

解得d＝L2sin2θ＋x2＝0.6 m.

[答案] (1)5 rad/s (2)0.6 m

考向2 竖直面内圆周运动与平抛运动的综合问题

[典例5] 如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球.现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动.已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L.不计空气阻力.

(1)求小球通过最高点A时的速度vA；

(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离.

[解析] (1)若小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有

mg＝mv2AL

解得vA＝gL.

(2)小球在B点时，根据牛顿第二定律有

FT－mg＝mv2BL

其中FT＝6mg

解得小球在B点的速度大小为vB＝5gL

细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得

竖直方向上：1.9L－L＝12gt2

水平方向上：x＝vBt