2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(湖南卷,理数)
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2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（湖南卷）
数学（理科）
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试题卷､答题卡规定填写自己的姓名､座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名､座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．
2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．､草稿纸上答题无效．．．．．．．．．
4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交．
参考公式：
椎体体积，其中S为椎体的底面积，h为椎体的高．
若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则，
，
说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．
第Ⅰ卷一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若Rbabiaii,213，则ab（ ）
A．1 B．710
C．7 D．7
2．若集合}22{xxxA，},02{2xxB则BA（ ）
A．)0,2( B．)0,2[
C．),0( D．),0[
3．已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：2cm）（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A．24 B．34
C．26 D．36
4．对于每一个实数xfx，是22-yx和yx这两个函数中的较小者，则fx的最大值是（ ）．
A．1 B．2
C．0 D．–2 5．抛物线xy122的准线与双曲线13922yx的两条渐近线所围成的三角形面积是（ ）
A．3 B．32
C．2 D．33
6．已知抛物线:C24xy，直线:1ly．PA､PB为曲线C的两切线，切点为,AB．令甲：若P在l上，乙：PAPB；则甲是乙（ ）条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
7．20(sincos)2xaxdx，则实数a等于（ ）
A．1 B．1
C．3 D．3
8．为考察喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：
患抑郁症 未患抑郁症 合计
喜欢黑色 15 32
47
不喜欢黑色 14 30 44
合计 29 62 91
由22(-)()()()()nadbcKabcdacbd=++++，得2291(1530-3214)20.0000978959624447K创=?创?
附表：
2()PKk 0．050 0．010 0．001
k 3．841 6．635 10．828
则（ ）认为喜欢黑色与患抑郁症有关系．
A．有99%把握 B．有95%把握
C．有90%把握 D．不能
第Ⅱ卷
二､填空题：（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上）
一､选做题（请考生在第9､10､11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9．已知曲线1C的极坐标方程为：cossin0krqrq-+=，其中k为正数，以极点为坐标原点，极轴为x正半轴，建立平面直角坐标系，在此坐标系下，曲线2C的方程为cossinxyaaì==ïïíïïî（a为参数）．若曲线1C与曲线2C相切，则k ．
10．0,1xyxy>+=、，则11()()xyxy++的最小值为 ．
11．如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且3PAPB=，则PBBC= ．
二､必做题（12~16题）
12．已知数列}{na的前n项和为)15(21nnSn，Nn，现从前m项：1a，2a，…，ma中抽出一项（不是1a，也不是ma），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是第 项．
13．已知ABC中，点ABC、、的坐标依次是(21)(32)(31)ABCBC，－，，，－，－，边上的高为AD，则AD的坐标是： ．
14．如果执行右面的程序框图，那么输出的S ．
15．甲､乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中,1,2,3,4ab ，若1ab ，就称甲乙“心有灵犀”． 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ．
16．在计算“1223(1)nn”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3kkkkkkkk由此得
112(123012),3
123(234123),3
…
1(1)[(1)(2)(1)(1)].3nnnnnnnn
相加，得11223(1)(1)(2).3nnnnn
类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)nnn”，其结果为 ．
三､解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
设向量(sin,cos)axx，(sin,3sin)bxx，xR，函数()(2)fxaab． （1）求函数()fx的最大值与单调递增区间；
（2）求使不等式()2fx成立的x的取值集合．
18．（本题满分12分）
某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版
本教材的教师人数如下表所示：
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
（1）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
（2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本题满分12分）
如图，已知斜三棱柱111CBAABC的侧面CA1⊥底面902ABCABCBC，＝，＝，AC=32，又1AA⊥CA1，1AA=CA1．
（1）求侧棱AA1与底面ABC所成的角的大小；
（2）求侧面BA1与底面所成二面角的大小；
（3）求点C到侧面BA1的距离．
20．（本题满分13分）
2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面2103米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这个抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误?请通过计算说明理由；
21．（本题满分13分）
已知椭圆22122:10)xyCabab（的右焦点为F，上顶点为AP，为1C上任一点，MN是圆222:(3)1Cxy的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为32的直线l恰好与圆2C相切．
（1）已知椭圆1C的离心率；
（2）若PMPN的最大值为49，求椭圆1C的方程．
22．（本题满分13分） 已知函数22log)(xxxfa的定义域为[，]，值域为)1([logaa，)]1(logaaa，并且)(xf在[，]上为减函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：42；
（3）若函数22log)1(log)(xxxaxgaa，[x，]的最大值为M，求证：10M
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（湖南卷）
数学（理科）
一､选择题
1-5．CCBAD 6-8．ABD
二､填空题
（一）选做题
9． 10．254 11．12
（二）必做题
12．8 13．（-1，2） 14．2550
15．58 16．1(1)(2)(3)4nnnn
三､解答题
17．（1）2()(2)2fxaabaab222sincos2(sin3sincos)xxxxx
11cos23sin2xx
3122(sin2cos2)22xx
22(sin2coscos2sin)22sin(2)666xxx
∴当sin(2)16x时，()fx取得最大值4
由222262kxk，得63kxk()kZ
（2）由()22sin(2)6fxx，得()4cos(2)6fxx
由()2fx，得1cos(2)62x，则222363kxk，
即124kxk()kZ
∴使不等式()2fx成立的x的取值集合为,124xkxkkZ
18．（1）从50名教师随机选出2名的方法数为2501225C，
选出2人使用版本相同的方法数为22222015510350CCCC，故2人使用版本相同的概率为350212257P．
（2）的所有可能取值为0，1，2．
173CC)0(235215P，
112015235C60(1)C119CP
11938CC)2(235220P．
∴的分布列为
0
1
2
P 173 11960 11938
∴360381368012171191191197E．
19．（1）∵侧面CA1底面ABC， ∴AA1在平面ABC上的射影是AC．
AA1与底面ABC所成的角为∠ACA1．
∵CAAA11，CAAA11， ∴∠ACA1=45°．
