普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数1ziii为虚数单位在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】 B

【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B

选B

2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

【答案】 D

【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D

3.在锐角中ABC，角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA则角等于

A．12 B．6 C．4 D．3

【答案】 D

【解析】 3=A 223 =sinA sinB3 = sinB2sinA :得b3=2asinB由A，

选D

4.若变量,xy满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是

A．5-2 B．0 C．53 D．52

【答案】 C

【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(u

选C

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2 / 12 5.函数2lnfxx的图像与函数245gxxx的图像的交点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】 B

【解析】 二次函数245gxxx的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，g(2)

= 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2

选B

6. 已知,ab是单位向量，0ab.若向量c满足1,cabc则的取值范围是

A．2-1,2+1， B．2-1,2+2，

C．1,2+1， D．1,2+2，

【答案】 A

【解析】

向量之差的向量与即一个模为单位c2.1|c-)ba(||ba-c|,2|ba|向量，是b,a的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2c。

选A

7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于

A．1 B．2 C．2-12 D．2+12

【答案】 C

【解析】 由题知，正方体的棱长为1，

121-2.]2,1[]2,1[1而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。

选C

8.在等腰三角形ABC中，=4ABAC，点P是边AB上异于,AB的一点，光线从点P出发，经,BCCA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC的中心，则AP等

A．2 B．1

C．83 D．43 2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）

3 / 12 【答案】 D

【解析】 使用解析法。

).34,34(32).2,2(),0,(OOABCDBCxP处，在中线的的重心的中点设

))1(3)12(4,)1(3)2(4()),1(34,0(34)34(,kkkkQkRxkykRQ则其方程为的斜率为设直线。

0)1)(12(1,0,)1(3)2(4)12(4,3)1(4kkkkkkkxkkkkkQPRPQPRP由题知

3421(01xkxk，舍）

选D

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

9.在平面直角坐标系xoy中，若,3cos,:(t)C:2sinxtxlytay为参数过椭圆

()为参数的右顶点，则常数a的值为 3 .

【答案】 3

【解析】

303)0,3(149,:22aayxCaxyl的右顶点程：椭圆方方程直线

10.已知222,,,236,49abcabcabc则的最小值为 12 .

【答案】 12

【解析】 .考察柯西不等式

12943631211))3()2(()111(2222222222cbacbacba）（

时，取最小值且当32,1,2cba.

11.如图2，在半径为7的O中,弦,,2,ABCDPPAPB相交于点 2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）

4 / 12 1PDO，则圆心到弦CD的距离为 .

【答案】

23

【解析】

23)2(5,422PCrdCDDCPCPCDPPBAP的距离，圆心到由相交弦定理得

（一） 必做题（12-16题）

12.若209,TxdxT则常数的值为 3 .

【答案】 3

【解析】

393330302TTxdxxTT

13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,aba则输出的的值为 9 .

【答案】 9

【解析】 922221a

14．设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P是C上一点，若216,PFPFa且12PFF的最小内角为30，则C的离心率为___。

【答案】 3

【解析】 设P点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,||,|21则 2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）

5 / 12 23)3(4182441630cos:.302222121accaacacaFPFFPF由余弦定理得中，由题知，

3ace

15．设nS为数列na的前n项和，1(1),,2nnnnSanN则

（1）3a_____；

（2）12100SSS___________。

【答案】 3

【解析】 设P点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,||,|21则

16．设函数(),0,0.xxxfxabccacb其中

（1）记集合(,,),,Mabcabca不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则(,,)abcM所对应的()fx的零点的取值集合为__]10(，__。

【答案】 ]10(，

【解析】

acxaccaccaxfabacacxxxxxln2ln2)(0]1)(2[2)(2,，令由题知

]10(ln2ln,0ln2ln2ln2ln02lnln.2，又acxacacac。

所以f(x)的零点集合为]10(，

（2）若,,abcABC是的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所有正确结论的序号）

①,1,0;xfx

②,,,xxxxRxabc使不能构成一个三角形的三条边长； 2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）

6 / 12 ③若1,2,0.ABCxfx为钝角三角形，则使

【答案】 ①②③

【解析】

01)()(1)()(),1,(,1,1],1)()[()(11ccbacbcacbcaxcbcacbcacxfxxxxx1

所以①正确。

.2,1,1,2,1,1边长不能构成三角形的三条则令xxxcbacbax所以②正确。

0-)2(,0)1(;0-222222cbafcbafcba，则令若三角形为钝角三角形

0)(),2,1(xfx使。所以③正确。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数2()sin()cos().()2sin632xfxxxgx。

（I）若是第一象限角，且33()5f。求()g的值；

（II）求使()()fxgx成立的x的取值集合。

【答案】 （I）51 （II）Zkkk],322,2[

【解析】 （I）533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf.

51cos12sin2)(,54cos)2,0(,53sin2g且

（II）21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxf

Zkkkxkkx],322,2[]652,62[6.(完)

18．（本小题满分12分）

某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量