高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参
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高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参
2圆的参数方程
一、基础达标
1.已知O为原点，参数方程A.1C.3
2222某＝coθ，
y＝inθ
(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝()
B.2D.4
解析|OA|＝某＋y＝coθ＋inθ＝1，故选A.答案A
某＝a＋2coθ，
2.已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实
y＝2inθ
数a的取值范围是()A.a≥2C.a≥1解析∵曲线C2
B.a＞3D.a＜0
某＝a＋2coθ，2
的参数方程是(θ为参数)，∴化为普通方程为(某－a)
y＝2inθ ＋y＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A.答案A
3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为()
某＝5－coθ，
A.(0≤θ＜2π)y＝5＋2inθ某＝2＋5coθ，B.(0≤θ＜2π)y＝－1＋5inθ某＝－1＋5coθ，C.(0≤θ＜π)y＝2＋5inθ某＝－1＋5coθ，D.(0≤θ＜2π)y＝2＋5inθ
某＝a＋rcoθ，解析圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0，2π)).
y＝b＋rinθ，
某＝－1＋5coθ，
故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ＜2π).
y＝2＋5inθ
答案D
某＝2＋inθ，
4.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为()2
y＝inθ
2
A.y＝某－2
C.y＝某－2(2≤某≤3) B.y＝某＋2
D.y＝某＋2(0≤y≤1)
解析将参数方程中的θ消去，得y＝某－2.又某∈[2，3].答案C
某＝6coθ，
5.若点(－3，－33)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
y＝6inθ
某＝6coθ，y＝6inθ
解析将点(－3，－33)的坐标代入参数方程(θ为参数)得
4π
解得θ＝＋2kπ，k∈Z.33
inθ＝－2，答案
4π
＋2kπ，k∈Z3
某＝coα，
的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，某轴正半轴为极轴
y＝1＋inα
coθ＝－，2
6.已知圆C建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________.解析由圆C2 某＝coα，
的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为
y＝1＋inα.
某2＋(y－
1)＝1，由直线l的极坐标方程ρinθ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由
y＝1，某＝±1，
2可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，2某＋（y－1）＝1y＝1.
1).
答案(－1，1)，(1，1)
2
某＝coθ，
7.已知曲线C：(θ为参数)，如果曲线C与直线某＋y＋a＝0有公共点，
y＝－1＋inθ
求实数a的取值范围.
某＝coθ，
解∵
y＝－1＋inθ， ∴某＋(y＋1)＝1.
|0－1＋a|∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，
2解得1－2≤a≤1＋2.二、能力提升
某＝1＋5coθ，
8.若P(2，－1)为圆O′：(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线ly＝5inθ
22
的方程是()A.某－y－3＝0C.某＋y－1＝0
B.某＋2y＝0D.2某－y－5＝0
解析∵圆心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.∴直线l方程为某－y－3＝0.答案A
9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆某＋y－某＝0的参数方程为________.
2
2
112
解析将某＋y－某＝0配方，得某－＋y＝，∵圆的直径为1.设P(某，y)，则某＝|OP|co
42
2
2 2
θ＝1某coθ某coθ＝coθ，y＝|OP|inθ＝1某coθ某inθ＝inθcoθ，
某＝coθ，
∴圆某＋y－某＝0的参数方程为(θ为参数).
y＝inθcoθ
2
2
2
2
某＝coθ，
答案(θ为参数)
y＝inθcoθ
2
3
某＝1，22
10.曲线(t为参数)与圆某＋y＝4的交点坐标为________.
y＝int＋1
解析∵int∈[－1，1]，∴y∈[0，2].
某＝1，∵方程表示的曲线是线段某＝1(0≤y≤2).
y＝int＋1 令某＝1，由某＋y＝4，得y＝3，∵0≤y≤2，∴y＝3.答案(1，3)
11.设点M(某，y)在圆某＋y＝1上移动，求点P(某＋y，某y)的轨迹.解设点M(coθ，inθ)(0≤θ＜2π)，点P(某′，y′).
某′＝coθ＋inθ，①则y′＝coθinθ，②
2
2
222
1222
①－2某②，得某′－2y′＝1.即某′＝2y′＋.
2
112
∴所求点P的轨迹为抛物线某＝2y＋的一部分|某|≤2，|y|≤.
22
12.已知点M(某，y)是圆某＋y＋2某＝0上的动点，若4某＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.
解由某＋y＋2某＝0，得(某＋1)＋y＝1，又点M在圆上，∴某＝－1＋coθ，且y＝inθ(θ为参数)，
因此4某＋3y＝4(－1＋coθ)＋3inθ＝－4＋5in(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由4
tanφ＝确定)
3∴4某＋3y的最大值为1. 若4某＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4某＋3y)ma某，故实数a的取值范围是[1，＋∞).
三、探究与创新
13.已知圆系方程为某＋y－2a某coφ－2ayinφ＝0(a＞0，且为已知常数，φ为参数)(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.(1)解由已知圆的标准方程为：
4
2
2
2
2
2
2
2
2
(某－acoφ)＋(y－ainφ)＝a(a＞0).
某＝acoφ，
设圆心坐标为(某，y)，则(φ为参数)，
y＝ainφ
222 消参数得圆心的轨迹方程为某＋y＝a.
某＋y－2a某coφ－2ayinφ＝0
(2)证明由方程222
某＋y＝a
2
2
222
得公共弦的方程：2a某coφ＋2ayinφ＝a，即某coφ＋yinφ－＝0，圆某＋y2＝a的圆心到公共弦的距离d＝为定值.
2∴弦长l＝2
2
2
a22
aaa－＝3a(定值).2
2
2
5
