高中数学第二章参数方程一曲线的参数方程第一课时参数方程的概念参数方程与普通方程的互化省公开课一等奖新

课标考纲解读

1、 通过分析抛射体运动中时间与运动物体位置的关系，了解参数 方程，了解参数的意义。

2、 能够进行参数方程与普通方程的互化。

考点知识清单

1、 参数方程的概念

⑴在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变

数t的函数｛：兗）），并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点

M（x,y）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的 _______ ，联系变

数x,y的变数t叫做 _______ ，简称 _____ 。相对于参数方程而言，直

接给出点的坐标间关系的方程叫做 _____ 。

⑵ _____ 联系变数x,y的桥梁，可以是一个有 ______ 义或 ______ 意

义的变数，也可以是 ______ 的变数。

2、 参数方程和普通方程的互化

⑴曲线的 _____ 和 ____ 是曲线方程的不同形式。

⑵在参数方程与普通方程的互化中必须使 ______保持一致。 例题及母题迁移

［例1］设质点沿原点为圆心，半径为 2的圆做匀角速度运动，角速度为n rad/s试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。

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［解析］显然点M的坐标x,y随着/ AOM的变化而变化，直接写出x 与y的关系式有困难，选一个新的变数 0 = AOM，用B将坐标x,y 表示出来，再找0与t的关系。

［答案］解:如图2- 1-1所示，在运动开始时质点位于点 A处，此时 t=0.设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知｛：舊鳥，又0青t （t以s为单

位），得参数方程｛心卞旨_0）

y Jsin —t

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［母题迁移］1、当

方程是（） 0变化时，由点P（2cos 0 ,3sir所确定的曲线的参数

A{ x =2cos V A{ y ：3sin 'i

x z3cos 71 C{ y =2sin 二 B{ x =3sin J B{ y =2cos '1

x -」sin ■' D{ y

【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念

参数方程的概念：

一般地，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确认的点m（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称作这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称作参变数，缩写参数。相对于参数方程而言，轻易得出点的座标间关系的方程叫作普通方程．

参数方程和普通方程的互化：

在参数方程与普通方程的互化中，必须并使x，y的值域范围保持一致．否则，互化就是不等价的。

（1）参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：

①代入法：利用解方程的技巧谋出来参数t，然后代入解出参数；

②三角法：利用三角恒等式消去参数；

③整体窭元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上解出．

(2)普通方程化为参数方程需要引入参数．

例如：①直线的普通方程就是2x-y+2=0，可以化成参数方程

②在普通方程xy=1中，令

可以化成参数方程

关于参数的几点说明：

(1)参数就是联系变数x，y的桥梁，可以就是一个存有物理意义或几何意义的变数，也可以就是没显著实际意义的变数．

(2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同．

(3)在实际问题中要确认参数的值域范围．

参数方程的几种常用方法：

方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化成普通方程的方法需为题目的特点而的定，必须挑选恰当的方法消参，并必须特别注意由于消参后引发的范围管制消失而导致的增解问题．常用的消参技巧大加减消参，代人消参，平方消参等． 方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程，要熟记曲线参数方程的形式及参数的意义．

方法3参数方程问题的化解方法：化解参数方程的一个基本思路就是将其转变为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式展开解题．

高三数学

一、参数方程的概念

一、 参数方程的定义：

1 定义：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：)()(tgytfx

反过来，对于t的每个允许值，由函数式：)()(tgytfx

所确定的点(,)Mxy都在这条曲线上，那么方程)()(tgytfx

叫做这条曲线的参数方程，变量t是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2说明：

(1)参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义.

(2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样

(3)在实际问题中要确定参数的取值范围

3. 参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.

4. 参数方程求法

（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点M坐标为),(yx

（2）选取适当的参数

（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点M坐标与参数的函数式

（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

5. 关于参数方程中参数的选取

选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.

与运动有关的问题选取时间t做参数.

与旋转的有关问题选取角做参数.

或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等.

二、例题选讲

例1 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（教材21页探究）

解：由物理学知识得2100()15002xttygt为参数 ①

救援物资落地时，应有0y，即2150002gt

- 1 - 类型3：参数方程与普通方程的相互转化

☯知识清单☯

一、曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标xy、都是某个变数t的函数xftygt，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点Mx,y都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数xy、的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

二、参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数xy、中的一个与参数t的关系，例如xft，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系ygt，那么xftygt，就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须使xy、的取值范围保持一致。

三、常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹 普通方程 参数方程

直线 00yytanxx 00xxtcosyytsin(t为参数)

圆 222xaybr xarcosybrsin(为参数)

椭圆 222210xyabab xacosybsin(为参数)

双曲线 2222100xya,bab xasecybtan(为参数)

抛物线 22ypx 222xptypt(t为参数)

- 2 - 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：t是直线上任一点Mx,y到000Mx,y的距离。

【知识必备】

1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数ft和gt的值域，即x和y的取值范围。

2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式221cossin，2211tancos。