高中数学 第2讲 参数方程 1 曲线的参数方程 第2课时 参数方程和普通方程的互化课后练习 新人教A版选修44

课题：参数方程和普通方程的互化

学科： 数学 年级： 高二 班级

【学习目标】

1、掌握如何将参数方程化为普通方程；

2、掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；

3、 培养严密的逻辑思维习惯。

【学习重难点】

重点：参数方程化为普通方程

难点：普通方程与参数方程的等价性

【预习指导】

课本第24页的例题2中求出点M的轨迹的参数方程为：cos3,()sinxy为参数。

问题1：你能根据该参数方程直接判断点M的轨迹图形吗？如果要判断点M的轨迹图形，你有什么方法吗？

【合作探究】

1：问题2：结合前面的例子，从参数方程到普通方程有什么变化？你能从中得到什么启发？

2：试一试：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ （1）tytx4123（t为参数）； （2）sin3cos5yx（为参数）.

3：例题讲解：

例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

4：问题3：将参数方程化为普通方程需要注意哪些要点？

5：问题4：从以上例3和练习中你逐一能总结出消去参数的一些常用方法吗？

6：补充例题： 若直线12,23.{xtyt（t为参数）与直线41xky垂直，则常数k=________.

【课堂小结】

1()12tytx=t(1)为参数sincos().1sin2yx=(2)为参数

1:

2: 参数方程化为普通方程要注意哪些要点？

3:消去参数的一些常用方法:

【当堂检测】

1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）2211tytx （2）sin3cos2yx (3)

2cossinyx

（4）

（5）ttyttx11（t为参数）； （6）12coscosyx（为参数）；

§1 参数方程的概念

1.参数方程的概念

(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数

x＝f（t），y＝g（t），①

并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.

相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程.

(2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义域的交集.

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.

(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.

【思维导图】

【知能要点】

1.参数方程的概念.

2.求曲线的参数方程.

3.参数方程和普通方程的互化.

题型一 参数方程及其求法

1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.

2.求曲线参数方程的主要步骤：

第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.

第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.

第2课时 参数方程和普通方程的互化

1．了解参数方程化为普通方程的意义．

2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点)

3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)

[基础·初探]

教材整理 参数方程和普通方程的互化

阅读教材P24～P26，完成下列问题．

1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么 x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

1．将参数方程 x＝2＋sin2θy＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为( )

A．y＝x－2

B．y＝x＋2

C．y＝x－2(2≤x≤3)

D．y＝x＋2(0≤y≤1)

【解析】 消去sin2θ，得x＝2＋y，

又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.

【答案】 C

2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )

A. x＝2cos θy＝1＋2sin θ(θ为参数)

B. x＝2cos

θy＝1＋2sin

θ(θ为参数)

C. x＝2cos θy＝－1＋2sin θ(θ为参数)

D. x＝2cos θy＝－1＋2sin θ(θ为参数)

【解析】 由x＝2cos θ，y＋1＝2sin θ知参数方程为

 x＝2cos θ，y＝－1＋2sin θ(θ为参数)．故选D.

【答案】 D

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

第2讲 参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

名称

普通方程 参数方程

直线 y－y0＝k(x－x0) x＝x0＋tcos αy＝y0＋tsin α

(t为参数)

圆 (x－x0)2＋(y－y0)2

＝R2 x＝x0＋Rcos θy＝y0＋Rsin θ

(θ为参数且0≤θ<2π)

椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) x＝acos ty＝bsin t

(t为参数且0≤t<2π)

抛物线 y2＝2px(p>0)

x＝2pt2y＝2pt(t为参数)

导师提醒

1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点

(1)三个应用：

已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

①若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1→| |M0M2→|＝|t1t2|，|M1M2→|＝|t2－t1|＝（t2＋t1）2－4t1t2； ②若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22；

③若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.

(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．