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高考数学一轮复习 第十七章 推理与证明 理 新人教A版

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第十七章 推理与证明 综合检测

一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分）

1. 集合P={1, 4, 9, 16…}，若a∈P, b∈P则ab∈P，则运算可能是

A．加法 B．减法 C．除法 D．乘法

[解析] D.

2. 若平面四边形ABCD满足0ABCD,()0ABADAC,则该四边形一定是

A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形

[解析] D.[AB//CD,BDAC]

3. （2011·珠海市高三教学质量检测）给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a,bbabaR0,则”类比推出“若a,bbabaC0,则”；

②“若a,b,c,ddbcadicbiaR,,则复数”类比推出“若a,b,c,d,Q

则dbcadcba,22”；

③“若a,bbabaR0,则” 类比推出“若a,bbabaC0,则”；

其中类比结论正确的个数是 （ ）

(A).0 (B).1 (C).2 (D).3

[解析] B.[正确命题①]

4. (11深圳九校)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到(3)nn维向量，n维向量可用123(,,,,)nxxxx表示.设123(,,,,)naaaaa,123(,,,,)nbbbbb,规定向量a与b夹角的余弦为niniiiniiibaba11221))((cos.当(1,1,1,1)a,(1,1,1,1)b时，cos=

A．nn1 B．nn3 C．nn2 D．nn4

[解析] nn2 [nnn2cosnn2]

5. 下列函数中，在区间02，上为增函数且以为周期的函数是

A．sin2xy B． sinyx C． tanyx D． cos2yx [解析] D

6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个.

A. 2 B. 3 C. 4 D.无数

[解析]3. [定义域可以是以下3种情况：{0，2}、{0，-2}、{0，2，-2}]

7.（11南昌调研）对于使22xxM成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做22xx的上确界,若,,1abRab且，则122ab的上确界为

A．92 B．92 C．41 D．4

[解析] B

122ab29)2225()221)((baabbaba，

29M，122ab的上确界为92

8. (2011深圳二模)如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从5这点跳起，经2011次跳后它将停在的点是（

）

A.1 B．2 C．3 D．4

[解析] A

[每两次跳3个点，每跳10次回到5这个点，

故跳2010次后它停在5这个点，跳2011次后它将停在的点是1]

二.填空题: （本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）

9. (2011中山一模)观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n个图中有 个小正方形.

[解析] 28，2)2)(1(nn.设第n个图中有na个小正方形. 211a，3212a，43213a，)1(4321nan2)2)(1(nn 2345110. 在数列na中，满足,,),2(2111baaanaaannn设,21nnaaas则合情推理推出100a=____________ ,.100s=_______________.

[解析] aa100 ；abs2100

11. (2011江苏模拟)已知2()(1),(1)1()2fxfxffx *xN（）,猜想(fx）的表达式为

[解析] 12)(xxf .[1)1(f,32)2(f,42)3(f,12)(,xxf]

12. (2011韶关一模)在实数集上定义运算：)1(yxyx，若不等式1)()(axax对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是

[解析] )23 21(，. [1)()(axax011)1)((22aaxxaxax，232103442aaa]

13. (济宁市2010—2011学年度高三复习第一阶段质量检测)

设等边ABC的边长为a,P是ABC内任意一点,且P到三边AB、BC、CA的距离分别为1d、2d、3d,则有321ddd为定值a23;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体ABCD的棱长为a,P是正四面体ABCD内任意一点,且P到平面ABC、平面ABD、平面ACD、平面BCD的距离分别为1h、2h、3h，则有321hhh为定值 .

[解析]a36

14. （10韶关调研）设nS是等比数列na的前n项和, 对于等比数列na,有命题:p若396,,SSS成等差数列,则285,,aaa成等差数列成立；对于命题q：若,,mnlSSS成等差数列, 则

________________成等差数列.请将命题q补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)

[解析] ,,()mknklkaaakN开放题，答案不唯一

15. (2011深圳调研)在RtABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则222111hab，由此类比：三棱锥SABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则 ． [解析] 22221111habc

三.解答题:

16. 2121,022aaaaa求证：若

证明：要证212122aaaa

需证212122aaaa……………4分

2)1(22214141 222222aaaaaaaa需证 ……………6分

)1(221 22aaaa需证 ……………8分

2)1(211 2222aaaa需证 ……………10分

2121 21 2222成立此式显然成立，故需证aaaaaa……12分

17. 设函数xxxfsincos)(,问是否存在)2,0(,

使)3()(xfxf恒成立？证明你的结论.

[解析])4sin(2)(xxf，它的最小正周期为2。……………4分

假设存在)2,0(，使)3()(xfxf恒成立，

则2T是它的周期. ……………8分

)2,0(，∴),0(2T，这与它的最小正周期为2相矛盾！………10分

∴不存在)2,0(,使)3()(xfxf恒成立. ……………12分

18. 如图，点P为斜三棱柱111CBAABC的侧棱1BB上一点，1BBPM交1AA于点M，1BBPN交1CC于点N.

(1) 求证：MNCC1； (2) 在任意DEF中有余弦定理：

DFEEFDFEFDFDEcos2222.

拓展到空间，类比三角形的余弦定理，

写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中

两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

(1) 证明：MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC111111,,//平面；………5分

(2) 解：在斜三棱柱111CBAABC中，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS，其中为平面BBCC11与平面AACC11所成的二面角. ………………7分

,1PMNCC平面上述的二面角为MNP,在PMN中， cos2222MNPMNPNMNPNPMMNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222， …………10分

由于111111111,,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC

∴有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS. ………………14分

19. 比较2n与n2的大小

[解析] 当n=1时,2nn2;

当n=4时,2n=n2; 当n=5时,2n

猜想：当5n时,2n

下面下面用数学归纳法证明：

（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立……………………………………..7分

（2）假设n=k（5k）时猜想成立，即22kk………………………………..8分

则2222kk，2)1(12)1(22222kkkkk，当5k时02)1(2k

22)1(2kk，从而21)1(2kk

所以当n=k+1时，猜想也成立…………………………………………………………13分

综合（1）（2），对Nn猜想都成立…………………………………………………14分

20. （广东实验中学2011学年高三第一次阶段测试）对于定义域为D的函数)(xfy，若同时满足：①)(xf在D内单调递增或单调递减；②存在区间[ba,]D，使)(xf在],[ba上的值域为],[ba；那么把函数)(xfy（Dx）叫做闭函数．

(1) 求闭函数31xy符合条件②的区间],[ba；

(2) 若kxy2是闭函数，求实数k的取值范围．

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最新高考一轮复习金榜聚焦： 推理与证明问题经典回顾 精品讲义

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推理与证明经典问题回顾

主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师

开篇语

数学解题离不开推理与证明．这里的推理主要指合情推理和演绎推理，证明主要指直接证明、间接证明以及利用数学归纳法证明．

合情推理有归纳推理和类比推理两种形式：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是一般到特殊的推理．反证法是间接证明的主要形式，证明的思路是：通过否定结论，导出矛盾，进而说明原结论正确．

开心自测

题一：设等差数列{}na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612TT成等比数列．

题二：设127,,,aaa是１，２，…，7的一个排列，求证：乘积127127Taaa为偶数．

考点梳理

１．合情推理的两种形式

（１）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

归纳推理是由特殊到一般的推理。

（２）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理。 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳或类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

２．演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

演绎推理是一般到特殊的推理。

演绎推理的“三段论”模式：

（１）大前提——已知的一般原理；

（２）小前提——所研究的特殊情况；

（３）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

３．直接证明与间接证明

（１）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录

2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录

课时规范练(A)

课时规范练1 集合的概念与运算

课时规范练3 命题及其关系、充要条件

课时规范练5 函数及其表示

课时规范练7 函数的奇偶性与周期性

课时规范练9 指数与指数函数

课时规范练11 函数的图象

课时规范练13 函数模型及其应用

课时规范练15 利用导数研究函数的单调性

课时规范练17 定积分与微积分基本定理

课时规范练19 同角三角函数基本关系式及诱导公式

课时规范练21 简单的三角恒等变换

课时规范练23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用

课时规范练25 平面向量的概念及线性运算

课时规范练27 平面向量的数量积及其应用

课时规范练29 数列的概念

课时规范练31 等比数列

课时规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时规范练35 合情推理与演绎推理

课时规范练37 数学归纳法

课时规范练39 空间几何体的表面积与体积

课时规范练41 空间直线、平面的平行关系

课时规范练43 空间向量及其运算

课时规范练45 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

课时规范练47 圆的方程

课时规范练49 椭圆

课时规范练51 抛物线

课时规范练53 算法初步

课时规范练55 用样本估计总体

课时规范练57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时规范练59 二项式定理

课时规范练61 古典概型与几何概型

课时规范练63 二项分布与正态分布

课时规范练65 极坐标方程与参数方程

课时规范练67 绝对值不等式

课时规范练(B) 课时规范练2 简单不等式的解法

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

课时规范练6 函数的单调性与最大(小)值

课时规范练8 幂函数与二次函数

课时规范练10 对数与对数函数

课时规范练12 函数与方程

课时规范练14 导数的概念及运算

课时规范练16 利用导数研究函数的极值、最大(小)值

(新课标)2020年高考数学一轮总复习 6_4推理与证明课时规范练(理)(含解析)新人教A版

(新课标)2020年高考数学一轮总复习 6_4推理与证明课时规范练(理)(含解析)新人教A版

1 6-4 推理与证明

课时规范练

(授课提示：对应学生用书第283页)

A组 基础对点练

1．(2018·德州期末)用反证法证明命题“已知函数f(x)在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上至多有一个零点”时，要做的假设是( D )

A．f(x)在[a，b]上没有零点

B．f(x)在[a，b]上至少有一个零点

C．f(x)在[a，b]上恰好有两个零点

D．f(x)在[a，b]上至少有两个零点

2．(2018·鹤壁期末)下面几种推理过程是演绎推理的是( D )

A．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)由此归纳出{an}的通项公式

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C．某校高二共有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

3．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( D )

A．(3,9) B．(4,8)

C．(3,10) D．(4,9)

4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( B )

①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．

A．①②③ B．②①③

C．②③① D．③②①

5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是( C )

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

6．对累乘运算∏有如下定义：k＝1nak＝a1×a2×…×an，则下列命题中的真命题是( D ) 2 A.k＝11 0072k不能被10100整除 B．k＝12 015 4k－2k＝12 014 2k－1＝22 015

2020届高考数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题- 最值、范围、证明专题课时作业理(含解析)新人教A版

2020届高考数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题- 最值、范围、证明专题课时作业理(含解析)新人教A版

1 第2课时 最值、范围、证明专题

课时作业

1．设椭圆M：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线y＝2x＋m交椭圆于A，B两点，且P(1，2)为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．

解：(1)由双曲线的离心率为2，得椭圆的离心率e＝ca＝22.

易知圆x2＋y2＝4的直径为4，所以2a＝4.

由 2a＝4，ca＝22，b2＝a2－c2得 a＝2，c＝2，b＝2，

故椭圆M的方程为y24＋x22＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由 y＝2x＋m，x22＋y24＝1，得4x2＋22mx＋m2－4＝0.

由Δ＝(22m)2－16(m2－4)＞0，得－22＜m＜22.

∵x1＋x2＝－22m，x1x2＝m2－44，

∴|AB|＝1＋2·|x1－x2|＝3·x1＋x22－4x1x2

＝3·12m2－m2＋4＝3·4－m22.

又点P到直线AB的距离d＝|m|3，

则S△PAB＝12|AB|d＝12×3×4－m22·|m|3＝124m2－m42＝122m28－m2≤122·m2＋8－m22＝2，

当且仅当m＝±2∈(－22，22)时取等号．

故△PAB的面积的最大值为2. 2 2．已知圆G：x2＋y2－2x－2y＝0经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角5π6的直线l交椭圆于C，D两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

解：(1)∵圆G：x2＋y2－2x－2y＝0经过点F，B，

∴F(2,0)，B(0，2)，∴c＝2，b＝2，

∴a2＝b2＋c2＝6，∴椭圆的方程为x26＋y22＝1.

(2)由题意知直线l的方程为y＝－33(x－m)，m＞6，

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