高考数学总复习 113推理与证明 新人教B版

1 11-3推理与证明

基础巩固强化

1.(2011·江西文，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )

A．01 B．43 C．07 D．49

[答案] B

[解析] 75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，

∵2011＝502×4＋3，

∴72011与73末两位数字相同，故选B.

2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．

其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，

不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.

3．(文)将正整数排成下表：

则在表中数字2014出现在( )

A．第44行第78列 B．第45行第78列

C．第44行第77列 D．第45行第77列

[答案] B

[解析] 第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．

2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B. 2 (理)(2012·西安五校第一次模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )

A．(7,5) B．(5,7)

C．(2,10) D．(10,1)

[答案] B

[解析] 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n＋1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有nn＋12个“整数对”，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.

4．(文)(2011·绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．289 B．1024 C．1225 D．1378

[答案] C

[解析] 将三角形数记作an，正方形数记作bn，则an＝1＋2＋…＋n＝nn＋12，bn＝n2， 3 由于1225＝352＝49×49＋12，故选C.

(理)n个连续自然数按规律排成下表：

根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为( )

A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓

[答案] A

[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与相同，故选A.

5．(2012·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )

①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；

②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；

③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；

④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

[答案] B

[解析] 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.

6．(文)定义某种新运算“⊗”：S＝a⊗b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( ) 4

A．2 B．1

C．3 D．4

[答案] B

[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.

(理)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nfx1＋x2＋…＋xnn，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC的最小值是( )

A．3 B.23 C．33 D.3

[答案] C

[解析] 根据f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA＋tanB＋tanC≥3tanA＋B＋C3＝3tanπ3＝33.故所求的最小值为33.

7．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2014的值为________.

x 1 2 3 4 5 6

f(x) 4 5 1 2 6 3

[答案] 1

[解析] 由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期为6的周期数列，∴x2014＝x4＝1.

8．(文)(2012·陕西文，12)观察下列不等式 5 1＋122<32，

1＋122＋132<53，

1＋122＋132＋142<74，

……

照此规律，第五个．．．不等式为__________________．

[答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116

[解析] 本题考查了归纳的思想方法．

观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1，

所以第五个不等式为：

1＋122＋132＋142＋152＋162<116.

[点评] 在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识．

(理)(2011·台州模拟)观察下列等式：

(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，

(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，

(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，

(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，

……

由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.

[答案] 12n(n＋1)

[解析] 由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，…，∴a2＝12n(n＋1)．

9．(文)如图数表满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第n(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f(n)＝__________，并可解得通项f(n)＝________. 6

[答案] f(n)＝f(n－1)＋n－1；f(n)＝n2－n＋22

[解析] 观察图表知f(n)等于f(n－1)与其相邻数n－1的和．

∴递推关系为f(n)＝f(n－1)＋n－1，

∴f(n)－f(n－1)＝n－1，

即f(2)－f(1)＝1，

f(3)－f(2)＝2，

f(4)－f(3)＝3，

…

f(n)－f(n－1)＝n－1，

相加得f(n)＝n2－n＋22.

(理)观察下列等式：

①cos2α＝2cos2α－1；

②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；

③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；

⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.

可以推测，m－n＋p＝________.

[答案] 962

[解析] 由题易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50

m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，

∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.

10．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：a＋12＋b＋12≤2.

[证明] 要证a＋12＋b＋12≤2， 7 只需证a＋12＋b＋12＋2a＋12b＋12≤4，

又a＋b＝1，故只需证a＋12b＋12≤1，只需证(a＋12)(b＋12)≤1，只需证ab≤14.

∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，故原不等式成立.

能力拓展提升

11.(文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )

A．f(x) B．－f(x)

C．g(x) D．－g(x)

[答案] D

[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f ′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D.

(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是( )

A．[－12,24]

B．(－12,24)

C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)

D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)

[答案] D

[解析] 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．

故由题意得