随机过程 第一章1

1、Poisson过程

2、更新过程

3、Lundberg-Cramer破产模型

4、鞅

1、设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已有无数患者等候，而每次专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是独立的指数分布，求8:00-12:00门诊结束时接受过治疗的患者在医院停留的平均时间。

2、甲乙两人进行某种比赛，设每局甲胜的概率是p,乙胜的概率是q，和局的概率是r，1rqp。设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，和局不计分，且当两人中有一人获得2分时结束比赛。以nX表示比赛至第n局时甲获得的分数，则,1,0,nXn为时齐Markov链。求

（1）一步转移概率矩阵。

（2）求在甲获得1分的情况下，不超过两局可结束比赛的概率。

1、设H是nZ的分布，G是nY的分布，F是nnZY的分布，并记

PtPt时刻系统是开的，设nnEYZ，且F不是格点的，证明：

limntnnEZPtEZEY

2、考虑一个公平博弈问题。设,,21XX独立同分布，分布函数为：

2111iiXPXP

于是可以将,2,1iXi看做一个投掷硬币游戏的结果：如果出现正面就赢1元，出现反面则输1元。假设每次赌博所下赌注将于前面硬币的投掷结果有关，以nB记第n次所辖的赌注，则nB是11,,nXX的函数。令nW表示第n次赌博后所输（赢）的总钱数， 00W，则有njjjnXBW1，假设nBE，证明nW是鞅。

设Markov链的状态空间为5,4,3,2,1S，转移矩阵为：

0000000000001000001212121212121P

试画出转移图并确定常返状态、瞬过状态，并对常返状态i确定其平均回转时间i。

1 《概率论与随机过程》第一章习题答案

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解： nnnnS100,,1,0，其中n为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：18,,4,3S。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 解： 10,,4,3S。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： ,11,10S。

（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

解： EDECEBEADEDCDBDACECDCBCABEBDBCBAAEADACABS,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： 210,,eeeS其中，0e为和棋，1e为甲胜，2e为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

解： rwbwbrbrwbwrS,,,,,,其中，,,,bwr分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： 1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00S其中，0为次品，1为正品。

（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

（2009年）随机过程理论试题

学号 姓名 成绩

一. 填空(40分)

1. 设(,,)PF是随机试验E的概率空间，()是定义在它上面的一个随机变量，(,,)RPB是()的导出概率空间，则其中P是定义在 上的概率测度；P是定义在 上的概率测度。

2. 若已知,( )HXHtX且0··()ttlimXtX，则在内积空间中等价地有 ；在距离空间中等价地有 .

3. 设(), 1,2,,()iiNt是一独立同分布的随机变量序列，2()~(,)iN，()Nt是服从参数为的Poisson过程，且()Nt与()i相互独立，记随机和()1()()NtiiXt，则()Xt的矩母函数,()Xgt ；{()}EXt ；{()}DXt .

4. 记(), 0wtt是Wiener过程，则22()twt的Ito微分22(())dtwt .

5. 设, 0,1,2,nXn是不可约、有限状态空间的Markov链，且其一步状态转移矩阵的对角元素均大于零，则该Markov链的状态特性是 .

6. 设某汽车站乘客以平均每分钟4人到达的速率来到车站候车，车站以12分钟发放一辆班车运送顾客，为了提高服务质量，将乘客的人均等车时间缩短2分钟，此时车站应该至少 分钟发送一班车.

二.(15分) 一袋中有相同5只小球，其中3只红球，2只白球，红球上记数1，白球上记数2，随机试验E：随机地从袋中不放回地连续摸出2只小球，观察所摸到的小球情况。

1. 给出随机试验E的概率空间(,,)PF.

2. 记()为所摸出的小球上所记数字之和，试给出()的概率分布律和分布函数。

随机过程习题 第1章

1-1 1.1 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A和B，从1t秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。如果每一乘客以概率21登上A车，以概率21登上B车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j代表jt时乘客登上A车的状态，即乘客登上A车则1j，乘客登上B车则0j，即211jP,210jP，当nt时在A车上的乘客数为

njjn1

n是一个二项式分布的计算过程。

（1） 求n的概率分布，即；nkkPn,,2,1,0?

（2） 当公共汽车A上到达10个乘客时，A即开车（例如21t时921，且22t时又有一个乘客登上A车，则22t时A车出发），求A车的出发时间n的概率分布。

(1) 解：nt时在A车上的乘客数n服从二项分布，即

),,2,1,0(2101nkCPPCkPnknknjkjknn

(2) 解： A车的出发时间t服从负二项分布。设在n时刻第10位乘客登上A车，即A车出发时间nt，那么在前1n个时刻登上A车的乘客数为9，登上B车的乘客数为10n；若设乘客登A车概率为p (=1/2)，登B车概率为q (=1/2)，则随机变量nt的概率为

nnnnCpqpCntP219110991

其中，,12,11,10n。

1.2 设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过随机过程习题 第1章

1-2 程)(t。图1-2给出了它的样本函数。求：(1) )(t的一维概率密度函数)()(xft。(2)