随机过程 第2章

1、Poisson过程

2、更新过程

3、Lundberg-Cramer破产模型

4、鞅

1、设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已有无数患者等候，而每次专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是独立的指数分布，求8:00-12:00门诊结束时接受过治疗的患者在医院停留的平均时间。

2、甲乙两人进行某种比赛，设每局甲胜的概率是p,乙胜的概率是q，和局的概率是r，1rqp。设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，和局不计分，且当两人中有一人获得2分时结束比赛。以nX表示比赛至第n局时甲获得的分数，则,1,0,nXn为时齐Markov链。求

（1）一步转移概率矩阵。

（2）求在甲获得1分的情况下，不超过两局可结束比赛的概率。

1、设H是nZ的分布，G是nY的分布，F是nnZY的分布，并记

PtPt时刻系统是开的，设nnEYZ，且F不是格点的，证明：

limntnnEZPtEZEY

2、考虑一个公平博弈问题。设,,21XX独立同分布，分布函数为：

2111iiXPXP

于是可以将,2,1iXi看做一个投掷硬币游戏的结果：如果出现正面就赢1元，出现反面则输1元。假设每次赌博所下赌注将于前面硬币的投掷结果有关，以nB记第n次所辖的赌注，则nB是11,,nXX的函数。令nW表示第n次赌博后所输（赢）的总钱数， 00W，则有njjjnXBW1，假设nBE，证明nW是鞅。

设Markov链的状态空间为5,4,3,2,1S，转移矩阵为：

0000000000001000001212121212121P

试画出转移图并确定常返状态、瞬过状态，并对常返状态i确定其平均回转时间i。

21 第2章 平稳随机过程

2．1 平稳随机过程的基本概念

引言

“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。

随机过程)(tX，当t变化时，得一系列随机变量：)(1tX，)(2tX，……)(ntX。

)(tX具有“平稳”性，是指)(itX的变化稳定，不“大起大落”，各)(itX具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。

在统计学中，)(1tX，)(2tX，……)(ntX往往假设满足“独立同分布”（iid）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。

2．1．1 严平稳过程及其数字特征

一、定义

随机过程)(tX的n维概率密度（或n维分布函数）),,,(2121nnXtttxxxp不随时间起点选择不同而改变。即：对任何n和，过程)(tX的概率密度满足：

),,,(),,,(21212121nnXnnXtttxxxptttxxxp

则称)(tX为严平稳过程。

二、严平稳过程的一、二维概率密度

结论：严平稳过程)(tX的一维概率密度与时间无关；严平稳过程)(tX的二维概率密度只与1t、2t时间间隔12tt有关。

证明：当n＝1时，对任何，有),(),(1111txptxpXX。

取1t，则有)()0,(),(),(),(111111111xpxpttxptxptxpXXXXX。

当n＝2时，对任何，有),,,(),,,(21212121ttxxpttxxpXX。

取1t，12tt，则),,(),0,,(),,,(2112212121xxpttxxpttxxpXXX。

三、严平稳过程的数字特征

（1）若)(tX是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。 22 证明：XXXXmdxxxpdxtxxptXEtm)(),())(()(

第2章-随机过程习题及答案

第二章 随机过程分析

1.1 学习指导

1.1.1 要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数

如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率为P[ ξ(t1) ≤ x1 ]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为

F1(x1, t1) = P[ξ(t1) ≤ x1] (2-1)

如果F1(x1, t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为

1111111(,)(, ) (2 - 2)Fxtfxtx

对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1) ≤ x1和ξ(t2) ≤ x2同时成立的概率

212121122(, ; , )(), () (2 - 3)FxxttPtxtx

称为随机过程 (t)的二维分布函数。如果

2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)Fxxttfxxttxx

存在，则称f2(x1, x2; t1, t2)为随机过程 (t)的二维概率密度函数。

对于任意时刻t1，t2，…，tn，把

n12n12n1122nn()(),(),,() (2 - 5)FxxxtttPtxtxtx，，，；，，，称为随机过程 (t)的n维分布函数。如果

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1 / 12 第二章 随机过程分析

1.1 学习指导

1.1.1 要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数

如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率为P[ ξ(t1) ≤x1]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为

F1(x1, t1) = P[ξ(t1) ≤x1] (2-1)

如果F1(x1, t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为

1111111(,)(, ) (2 - 2)Fxtfxtx

对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1) ≤x1和ξ(t2) ≤x2同时成立的概率

212121122(, ; , )(), () (2 - 3)FxxttPtxtx

称为随机过程(t)的二维分布函数。如果

2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)Fxxttfxxttxx

存在，则称f2(x1, x2; t1, t2)为随机过程(t)的二维概率密度函数。

对于任意时刻t1，t2，…，tn，把

n12n12n1122nn()(),(),,() (2 - 5)FxxxtttPtxtxtx，，，；，，，称为随机过程(t)的n维分布函数。如果