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随机过程-习题-第1章

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随机过程习题 第1章

1-1 1.1 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A和B，从1t秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。如果每一乘客以概率21登上A车，以概率21登上B车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j代表jt时乘客登上A车的状态，即乘客登上A车则1j，乘客登上B车则0j，即211jP,210jP，当nt时在A车上的乘客数为

njjn1

n是一个二项式分布的计算过程。

（1） 求n的概率分布，即；nkkPn,,2,1,0?

（2） 当公共汽车A上到达10个乘客时，A即开车（例如21t时921，且22t时又有一个乘客登上A车，则22t时A车出发），求A车的出发时间n的概率分布。

(1) 解：nt时在A车上的乘客数n服从二项分布，即

),,2,1,0(2101nkCPPCkPnknknjkjknn

(2) 解： A车的出发时间t服从负二项分布。设在n时刻第10位乘客登上A车，即A车出发时间nt，那么在前1n个时刻登上A车的乘客数为9，登上B车的乘客数为10n；若设乘客登A车概率为p (=1/2)，登B车概率为q (=1/2)，则随机变量nt的概率为

nnnnCpqpCntP219110991

其中，,12,11,10n。

1.2 设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过随机过程习题 第1章

1-2 程)(t。图1-2给出了它的样本函数。求：(1) )(t的一维概率密度函数)()(xft。(2)

)(t的二维概率密度函数)()(xft。

图1-2 题1.2的样本函数

(1) 解：因为)(t的每个周期内的脉宽是服从同一均匀分布的随机变量，且各周期间是统计独立的，所以)(t的一维概率密度函数)()(xft是以T为周期的周期函数。显然，)(t只取A和0两个值。因此，)(t的一维概率密度函数可以表示为

)(}0)(Pr{)(})(Pr{)()(xtAxAtxft

假设),2,1,'0()1('nTtTntt，则在第n个周期中

TTntTtdTtAtnTtTnnn)1(111}'Pr{})(Pr{')1(

同理可得

TTntttn)1(}'Pr{}0)(Pr{

于是，)(t的一维概率密度函数为

)()1()()1(1)()(xTTntAxTTntxft

其中，,2,1,)1(nnTtTn。

(2) 解：求二维概率密度函数分成两种情况：

第一种情况：1t和2t不在同一周期内，由于不同周期内取值相互统计独立，所以二维概率密度函数为 T 2T 3T (k) (t)

0 A

t 1

2

3

4

随机过程习题 第1章

1-3 )()1()()1(1)()1()()1(1),;,(222211112121)(xTTntAxTTntxTTntAxTTntttxxft

其中，),2,1()1(1nTntnT，),2,1()1(mTmtmT，并且mn。

第二种情况：1t和在同一周期内，再分成三种情况(脉冲沿指下降沿)：

A：脉冲沿在],[1tnT间；

B：脉冲沿在],[21tt间；

C：脉冲沿在])1(,[2Tnt间。

相应的概率为

TnTtdtTAPtnT111)(

同理可得

TttBP12)(

TtTnCP2)1()(

相应的条件概率为

)()(),;,(1212121|xxxttxxfA

即1}0,0{21xxP。类似可得

)()(),;,(212121|xAxttxxfB

)()(),;,(1212121|xxAxttxxfC

于是，

TtTnxxAxTttxAxTnTtxxxCPttxxfBPttxxfAPttxxfttxxfCBAt2121122111212121|2121|2121|2121)()1()()()()()()()(),;,()(),;,()(),;,(),;,( 随机过程习题 第1章

1-4 1.3 设有一随机过程)(t，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题1-3画出了一个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在t=0后的第一个零值点位于0，0是一个随机变量，它在(0，T )内均匀分布，即

其它值,00,1)(0TtTtf

若锯齿波的幅度为A，求随机过程)(t的一维概率密度。

图题1-3

解：显然，)(xft是t的周期函数，且周期为T。设t=t’+(n-1)T Tt'0(，),2,1n。所以，t’或者落在],0[0上或者落在],[0T上。设

xt)(

当],0['0t时，

AxTtT)'(0

由此可得

xATTt)'(0

于是，

其它值,00,1)()(0AxAdxdyyfxft

同理当],['0Tt时也有上式。因此 A )()(tk

t

T 0 0 随机过程习题 第1章

1-5 其它值,00,1)(AxAxft

上式对于所有0t成立。

1.4 设有随机过程

tttsincos)( )(t

其中，为常数，且0，和是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为

2exp21)(2xxf )(x

2exp21)(2yyf )(y

即和是正态分布N(0，1)随机变量。若把)(t写成)sin()(tVt的形式，

（1） 求)(vfV、)(f及),(vfV，问V和是否统计独立。

（2） 画出)(t的典型样本函数；

（3） 求)(t的一维概率密度)(zft

（4） 设有事件A，cttA/02d)(2，其中c为常数，求出现A事件的概率P(A)。

(1) 解：将)sin()(tVt展开得

cossinsincos)(tVtVt

因此，

cossinVV

由此可得雅可比为 随机过程习题

第1章

1-6 VVVVJsincoscossin),(),(

由于和是相互统计独立的随机变量，所以

2exp21),(22,yxyxf

于是V和的联合概率密度函数为

对于其它值对于,0,0,2exp2),(),(2,,vvvJyxfvfV

做边缘积分得

0,2exp)(2vvvvfV

,21)(f

由此可见，

)()(),(,fvfvfVV

所以，V和是相互统计独立的。

(a) (b) 随机过程习题 第1章

1-7 (2) 解：设1，则当4,1V时，样本函数为（a），当2,1.0V时，样本函数为(b)。

(3) 解：因为

tttsincos)(

其中，和都是正态分布的随机变量，对于任意t，)(t是和的线性组合，所以)(t仍是正态分布。显然

0)}({tE ，1)}({2tE

所以，)(t的概率密度函数为

2exp21)(2zzft )(z

解决此题的另一种方法是设辅助变量，即设

cossinsincosBA

雅可比为

1cossinsincos),().,(BAJ

于是，

2exp212)sincos(exp212)cossin(exp211),(),(222122122121,21,yyyyyyJxxfyyfBA

因此，)(t的概率密度函数为

2exp21)()(2yyfyfA 随机过程习题 第1章

1-8 (4) 解：事件A为

cctttcttttcttA22/02222/02222/022cos22sin422d]2sinsincos[2d)(2

所以，

}{}{}{222cVPcPAP

由本题(1)的结论可知V服从瑞利分布，相应的V2服从指数分布，因此

2d)2exp(21}{ccexxAP

1.5 求1.4题给出的随机过程)(t的均值和自相关函数。

解：因为

0][][EE

所以，

]sincosE[)](E[ttttEtEsin][cos][= 0

相关函数为

),(R21tt

)]sincos)(sincosE[(2211tttt

)sincossin](cos[sinsin][coscos][2112212212ttttEttEttE

因为和相互统计独立，所以，0][][][EEE，且1][][22EE，于是

2121,cos),(Rtttt

实际上，由于和是随机变量，而不是随机过程。所以相关函数为常数，功率

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随机过程习题与答案

随机过程习题与答案

西 南 交 通 大 学

本科生考试试卷B

课程名称 随 机 过 程

二零零三年二零零四年第一学期 考试日期

班级 学号 姓名 成绩

一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令为t时刻的队长)(tX即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y(t)为t时刻来到的顾客所需等待时间

}),({},),({TttYTttX∈∈是随机过程吗为什么

二试写出随机过程

),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=ttAtXω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布

而Θ为常数 2若A服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数

三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每

位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y(t)是[0, t)时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]([tYE即[0, t)时段内总收入的平均收入 2)]([tYD

四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出CC−,且对于任意的t

电路中电流X(t)具有概率分布

21

21)(

ipCCtX−

因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X(t)

在[0, t)内变量的次数N(t)为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳

性}0),(≥ttX

五若每隔一分钟观察噪声电压以X(n)表示第n分钟观察噪声电压所得结果

则X(n)为一随机变量}1),({≥nnX为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么

六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N格质点以概率p顺时针游动一格以概率逆时针移动一格pq−=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵

七设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥nnX且已知其初始分布为

《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第1章习题答案

1 《概率论与随机过程》第一章习题答案

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解： nnnnS100,,1,0，其中n为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：18,,4,3S。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 解： 10,,4,3S。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： ,11,10S。

（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

解： EDECEBEADEDCDBDACECDCBCABEBDBCBAAEADACABS,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： 210,,eeeS其中，0e为和棋，1e为甲胜，2e为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

解： rwbwbrbrwbwrS,,,,,,其中，,,,bwr分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： 1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00S其中，0为次品，1为正品。

（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

第二章 《随机变量及其分布》练习题

第二章 《随机变量及其分布》练习题

1 第二章 《随机变量及其分布》练习题

一、选择题

1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A．34 B．38 C．13 D．14

2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为( )A．13 B．25 C．56 D．34

3．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )

A．C810×0.88×0.22 B．C810×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28

4．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )

A．无法求 B．0 C．E(X) D．2E(X)

5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )

A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.6

6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：

ξ 0 1

2

P 715 715 115

且η＝2ξ＋3，则E(η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125

7．随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 3

P 0.2 0.5 m

则ξ的数学期望是( )

A．2

B．2.1

C．2.3 D．随m的变化而变化

8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B5，14，则E(－ξ)的值为( ) A.14 B．－14 C.54 D．－54

9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( )A．7.8 B．8 C．16 D．15.6

西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案

西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案

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__________________________________________________ 随机过程习题解答

第一章习题解答

1． 设随机变量X服从几何分布，即：(),0,1,2,kPXkpqk。求X的特征函数，EX及DX。其中01,1pqp是已知参数。

解

0()()jtxjtkkXkftEeepq

=0()1jtkjtkppqeqe

又200()kkkkqqEXkpqpkqppp

（其中

000(1)nnnnnnnxnxx）

令

0()(1)nnSxnx

则 10000()(1)1xxnnknxStdtntdtxx

同理 20000(1)2kkkkkkkkkxkxkxx

令20()(1)kkSxkx 则

210010()(1)(1)xkkkkkkStdtktdtkxkx）

2、（1） 求参数为(,)pb的分布的特征函数，其概率密度函数为

（2） 其期望和方差；

（3） 证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。 __________________________________________________

__________________________________________________ 解 （1）设X服从(,)pb分布，则