随机过程第1章 概论

1、Poisson过程

2、更新过程

3、Lundberg-Cramer破产模型

4、鞅

1、设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已有无数患者等候，而每次专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是独立的指数分布，求8:00-12:00门诊结束时接受过治疗的患者在医院停留的平均时间。

2、甲乙两人进行某种比赛，设每局甲胜的概率是p,乙胜的概率是q，和局的概率是r，1rqp。设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，和局不计分，且当两人中有一人获得2分时结束比赛。以nX表示比赛至第n局时甲获得的分数，则,1,0,nXn为时齐Markov链。求

（1）一步转移概率矩阵。

（2）求在甲获得1分的情况下，不超过两局可结束比赛的概率。

1、设H是nZ的分布，G是nY的分布，F是nnZY的分布，并记

PtPt时刻系统是开的，设nnEYZ，且F不是格点的，证明：

limntnnEZPtEZEY

2、考虑一个公平博弈问题。设,,21XX独立同分布，分布函数为：

2111iiXPXP

于是可以将,2,1iXi看做一个投掷硬币游戏的结果：如果出现正面就赢1元，出现反面则输1元。假设每次赌博所下赌注将于前面硬币的投掷结果有关，以nB记第n次所辖的赌注，则nB是11,,nXX的函数。令nW表示第n次赌博后所输（赢）的总钱数， 00W，则有njjjnXBW1，假设nBE，证明nW是鞅。

设Markov链的状态空间为5,4,3,2,1S，转移矩阵为：

0000000000001000001212121212121P

试画出转移图并确定常返状态、瞬过状态，并对常返状态i确定其平均回转时间i。

1

知识点总结

第1章 概率论基础

1.1概论空间

随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。

其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为，试验的一个结果称为样本点，记为，即}{. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.

定义1.1.1 设样本空间，是的某些子集构成的集合，如果：

（1）

（2）若A，则A

（3）若nA，，，,21n则1nnA

那么称为一事件域，也称为域.

显然，如果是一事件域，那么

（1）

（2）若BA,，则BA

（3）若nA，1nn2,1nA，则，，

定义1.1.2 设是样本空间，是一事件域，定义在上的实值函数)(P如果满足：

（1）A0)(,AP ，

（2）1)(P，

（3）若nA,,2,1,n且,,2,1,,,jijiAAji则 2

11)()(nnnnAPAP

那么称P是二元组（,)上的概率，称P(A)为事件A的概率，称三元组,(),P为概率空间。

关于事件的概率具有如下性质：

（1）;0)(P

（2）若nA,,,2,1,,,,,,2,1,njijiAAniji 则

niniiiAPAP11)()(

（3）若BA,,,BA则）APBPABP()()(

（4）若BA,)()(,,BPAPBA则；

（5）若A;1)(,AP则

（6）若A);(1)(,APAP则

（7）若nA,,2,1,n则

11)()(nnniAPAP

（8）若iA,,,2,1,ni则

niniiiAPAP11)()(njinkjinnkjijiAAAPAAAPAAP11211)()1()()(

第 1 页 共 4 页 总印 1200份 （附卷纸 2 页）

说明：用本模板出题，请将插入方式换成改写方式，除填空题、图解及特殊要求外，一般不留答题空间；装订试卷、考生答卷纸不得拆开或在框外留有任何标记，否则按零分计 西安邮电学院课程考试试题（B卷）

（2008 —— 2009学年度第一学期）

课程名称：概论论与随机过程 试卷类型：（A、B、C）

考试专业、年级：电科、电子、光电、光信息、网络、信息全、自动化07级等

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

得分

评卷人

一、填空题（每空3分，共33分）

1. 设, AB相互独立，且1()9PAB， ()()PABPAB，则()________PA.

2．甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能破译出的概率分别为111, , 345．则密码能被破译的概率为________________.

3. 设随机变量X的分布率为{}99aPXk，（ 1, 2, ,99k）则常数a____________.

4.设连续型随机变量X的分布函数为()arctanFxABx

)(x，则常数A等于___________，B等于____________.

5． 设X服从(0,2)N，则21YX服从________________.

6. 设X和Y相互独立，且具有同一分布率：{}0.5, 1,2PXii，则min{,}ZXY的

分布率为__________________________.

7. 若()2DX，由切比雪夫不等式{|()|3}PXEX____________.

8.设nX表示前n次掷筛子后出现的点数，那么随机序列{, 1}nXn的状态空间是_________________________.

随机过程的基本概念和分类

随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。

1. 随机过程的基本概念

随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。

离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。

随机过程可以用概率分布函数来表达。对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。

2. 随机过程的分类

随机过程可以按照多种方式进行分类。以下是一些常见的分类方式。

2.1 马尔可夫过程

马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。

2.2 平稳过程

平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。