仿射逆变换

opencv仿射变换矩阵的逆矩阵

一、前言

OpenCV是一个非常强大的计算机视觉库，它提供了丰富的图像处理函数和算法，其中包括仿射变换。在进行仿射变换时，我们需要使用一个变换矩阵来描述变换过程。本文将重点讨论Opencv中仿射变换矩阵的逆矩阵。

二、什么是仿射变换矩阵？

在计算机视觉中，仿射变换是指通过平移、旋转、缩放等基本操作对图像进行变形。而这些操作可以通过一个3x3的矩阵来实现，这个矩阵就是仿射变换矩阵。

三、为什么需要求逆矩阵？

在实际应用中，我们有时需要对图像进行反向变形或者还原操作。这时就需要求出原始仿射变换的逆矩阵了。逆矩阵可以理解为“撤销”原始变换所需的矩阵。

四、如何求逆矩阵？

在Opencv中，我们可以使用cv::invert()函数来求一个3x3的逆矩阵。该函数的参数包括源矩阵和输出逆矩阵。

具体用法如下：

cv::Mat src_matrix = cv::Mat::zeros(3, 3, CV_32FC1); //定义源矩阵

cv::Mat inv_matrix = cv::Mat::zeros(3, 3, CV_32FC1); //定义输出逆矩阵

cv::invert(src_matrix, inv_matrix, cv::DECOMP_LU); //求逆矩阵

其中，第一个参数是源矩阵，第二个参数是输出逆矩阵，第三个参数是求解逆矩阵的方法。在Opencv中，我们可以选择使用LU分解或者SVD分解来求逆矩阵。

五、如何验证逆矩阵？

为了验证求出的逆矩阵是否正确，我们可以将源矩阵和其逆矩阵相乘，得到一个单位矩阵。具体代码如下：

cv::Mat identity_matrix = src_matrix * inv_matrix; //计算单位矩阵

然后我们可以通过输出单位矩阵来验证逆矩阵是否正确。如果计算得到的单位矩阵与理论上的单位矩阵非常接近，则说明求出的逆矩阵是正确的。

159 仿射变换

与双曲线的标准方程22

221xy

ab相比椭圆的标准方程22

221xy

ab在形式上极为接近圆的标准方程

222xyr．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题

的方法． 对椭圆的标准方程22

221xy

ab，我们需要在y轴进行伸缩变换xx

b

yy

a



得到方程22

221xy

aa

．

伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共

点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．

【备注】仿射变换（Affine Transform）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形

的“平直性”（译注： straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平

行性”（译注：parallelness，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行

线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以

通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、

旋转（Rotation）和错切（Shear）．

【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程22

22:1xy

E

ab变为圆222:Exya，椭圆上的点

00,Pxy变为

00,a

Pxy

b

，因此过圆E上一点P的圆的切线方程为:l2

00a

xxyya

b

该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E上一点P的椭圆的切线方程2

2

002:a

lxxyya

b即

00

221xxyy

ab

下面是仿射变换前后一些常用量的对应关系：

变换前 变换后

方程 22

221xy

ab 222xya

横坐标 x xx

纵坐标 y a

yy

b

斜率 y

k

x



 y

k

x

a

yabk

拉普拉斯逆变换

对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为

j0)(210,0)(jsttdsesFjttf，π

(8.3-1)

上述积分应在收敛域内进行，若选常数0[0为)(sF的收敛坐标]，则积分路线是横坐标为，平行于与纵坐标轴的直线。实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。若F(s)是s的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。

如果象函数F(s)是s的有理分式，它可写为

01110111F(s)asasasbsbsbsbnnnmmmm

（8.3-2）

式中各系数),,1,0(),,,1,0(aimjbnij均为实数，为简便且不失一般性，设1na。若nm，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式)(sP与有理真分式之和，即

)()()()(sAsBsPsF

（8.3-3）

式中)(sB的幂次小于)(sA的幂次。例如

6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF 由于)(]1[1t￡，)(]['1ts￡，…，故上面多项式)(sP的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。

一、查表法

附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。

例8.3-1 求2352)(2ssssF得原函数)(tf。

电大理工　Ｄｉａｎｄａ　Ｌｉｇｏｎｇ　第１期总第２３０期　仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用　谭长明汝春雷　鞍山师范学院（鞍山１１４００７）　摘　要　仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁．灵活地运用仿射　变换，能使一些初等几何问题由繁到简．论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质　的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中．　关键词　仿射变换不变性不变量椭圆　圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆　比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有　关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身　的定义要比圆复杂，椭圆的性质和定理就很少，　解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆　有关的相应的问题困难得多。在初等几何中，　有很多有关椭圆的问题，只能通过解析儿何的　方法米解决，这就给我们解题带来了不少麻烦。　因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有　关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而　由仿射变换性质可知：椭圆通过适当的仿射变　换可变成圆。因此，只要考虑的有关椭圆的问　题纯属仿射性质的问题，就可以先转化为有关　圆相应的问题来解决，再把所得的结果推广到　椭圆中去，即可达到我们解题的目的。　为实现上述目的，我们还应该明确，为什　么椭圆通过适当的仿射变换可变成圆？　命题　圆的仿射对应图形是椭圆　证明：设有以原点为中心，ｒ为半径的一　个圆，它的参数方程为：　＝　∞　ｙ＝ｒｓｉｎ　则由仿射变换成：』　口１１ｘ＋ａ１２Ｙ＋口ｌ３　【Ｙ’　ａ２１ｘ＋０２２Ｙ＋ａ２３　知此圆的象的参数方程为：　ｆ　’一口ｌ３＝ｒ（口１１　ｃｏｓ／９＋口１２　ｓｉｎ　）　Ｉｙ＇－ａ２３＝ｒ（ａ２ｌ　ｃｏｓ／９＋口２２　ｓｉｎ　）　得出ＣＯＳ　，ｓｉｎ　为：　ｃｏｓ１９＝—　————Ｉ＿——————　［口２２（　’一口ｌ３）一口ｌ２（．ｙ’一口２３）］　ｒ￣ａｌ１口２２一口ｌ２口２ｌ　Ｊ　１　ｓｉｎ　＝—７————二—　［口ｌ　１（Ｙ’一口２３）一口２１（　’一口ｌ３）］　，．　口１１口２２一口１２口２ｌ　Ｊ　将以上二式平方相加得圆的象的方程为：　ｌ＇－ａｌ３’）（Ｑ２１２＋Ｏ２２　）一２　＇－ａｌ３）　’－－￣２３）（ａｌｉａ２１＋　Ｏ１２０２２）＋　’一Ｑ２３２）（口ｌ　ｌ２＋口１２２）＝ｒ２（ａｌ　ｌＱ２２　２ｌ口ｌ２）２　可以证明这是一个椭圆的方程，因此得知　圆的仿射对应图形是椭圆。　由于圆的仿射对应图形是椭圆，所以可以　从圆的性质推导出椭圆的一些性质：已知三角　形ＡＢＣ的顶点与其内切圆的切点的连线共点，　因为圆的仿射对应图形是椭圆，三角形的仿射　对应图形也是三角形，且仿射对应图形保持结　合性不变，所以圆的切线的仿射对应图形是椭　圆的切线，因此图ｌ的仿射对应图形是图２。　解决有关椭圆的问题就可以简化为解决圆　的问题，主要应用如下：　（１）求椭圆的面积　利用仿射变换求椭圆的面积见图１：　．　Ｒ　图１仿射变换求椭圆图