必修5解三角形知识点归纳总结

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精校版 数学·必修5(人教A版)

一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：

1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

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精校版 2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．

3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．

“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．

4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．

5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．

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二、学数学的最终目的是应用数学．能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．

高中数学必修5知识点

第一章解三角形

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C

中，a

、b

、c

分别为角

、

、C

的对边，，则有

2

sinsinsinabc

R

C



(R

为C

的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式：①2sinaR

，2sinbR

，2sincRC

；②sin

2a

R，sin

2b

R，sin

2c

C

R；③::sin:sin:sinabcC

；

3、三角形面积公式：111

sinsinsin

222CSbcabCac

．

4、余弦定理：在C

中，有2222cosabcbc，推论：222

cos

2bca

bc



第二章数列

1、数列中

na

与

nS之间的关系：

1

1,(1)

,(2).n

nnSn

a

SSn









注意通项能否合并。

2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即

na

－

1na

=d，（n≥2，n

∈N

），

那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数aAb、、成等差数列

2ab

A

⑶通项公式：

1(1)()

nmaandanmd

或(

napnqpq、是常数）.

⑷前n项和公式：



1

11

22n

nnnnaa

Snad

⑸常用性质：

①若

Nqpnmqpnm,,,

，则

qpnmaaaa

；

②下标为等差数列的项

,,,

2mkmkkaaa

，仍组成等差数列；

③数列

ba

n

（b,

为常数）仍为等差数列；④若{}

na

、{}

nb

是等差数列，则{}

nka

、{}

nnkapb

(k

、p

是非零常数)、*{}(,)

pnqapqN



、，…也成

等差数列。

⑤单调性：

na

的公差为d

，则：

ⅰ）0d

na

为递增数列；

ⅱ）0d

na

为递减数列；

ⅲ）0d

na

为常数列；

⑥数列{

na

}为等差数列

napnq

（p,q是常数）

⑦若等差数列

na

的前n

项和

nS

，则

kS

、

kkSS

word

1 / 19 高二数学必修五 第一章解三角形

一、本章知识结构：

二、基础要点归纳

1、三角形的性质：

①.A+B+C=,222ABCsin()sinABC,

cos()cosABC,sincos22ABC

②.在ABC中,ab＞c , ab＜c ; A＞BsinA＞sinB,

A＞BcosA＜cosB, a＞bA＞B

③.假设ABC为锐角，那么AB＞2,B+C＞2,A+C＞2;

22ab＞2c，22bc＞2a，2a＋2c＞2b

2、正弦定理与余弦定理：

①.正弦定理：2sinsinsinabcRABC (2R为ABC外接圆的直径)

111sinsinsin222ABCSabCbcAacB

②.余弦定理：2222cosabcbcA222cos2bcaAbc

2222cosbacacB222cos2acbBac 正弦定理

余弦定理 解三角形 应用举例 word

2 / 19 2222coscababC222cos2abcCab

〔必修五〕第二章、数列

一、本章知识结构：

二、本章要点归纳：

1、数列的定义及数列的通项公式：

①.()nafn，数列是定义域为N的函数()fn，当n依次取1，2，时的一列函数值。

②.na的求法：

i.归纳法。

ii.11,1,2nnnSnaSSn 假设00S，那么na不分段；假设00S，那么na分段。

iii. 假设1nnapaq，那么可设1()nnampam解得m,得等比数列nam。

iv. 假设()nnSfa，那么先求1a，再构造方程组：11()()nnnnSfaSfa得到关于1na和na的递推关系式. 数

列 等差数列

等比数列 通项公式：

前n项和公式：

通项公式：

前n项和公式： 数列的应用 word

必修五：解三角形

知识点一：正弦定理和余弦定理

1.正弦定理 a b c :si nA sin B si nC J' 或变形： a: b:c sir i A:sin B:sin C

cosA b2 2 c 2 a

2bc

2 2 2

2 a 2 2

b c 2bccosA

cosB a c b 2ac

b2 2 2 a c

2accosB

cosC b2 2 a 2 c

2 c 2 2 b a 2 •余弦定理： 2ba

cosC 或

2ab

3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角

2 、已知两角和其中一边的对角，求其他边角

（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•

2 、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角

4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)

A B C AB C AB C sin cos ,cos sin ,ta n cot — 2 2 2 2 2 2

已知条件 定理应

用 一般解法

一边和两角

（如 a、B C） 正弦定

理 由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出 b与c,在有解时 有一解。

两边和夹角

（如 a、b、c） 余弦定

理 由余弦定理求第三边 C,由正弦定理求出小边所对的角，再

由A+B+C-180求出另一角，在有解时有一解。 5 •解题中利用 ABC中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的

cosC, tan(A B) tanC, 三边

（如 a、b、c） 余弦定

理 由余弦定理求出角 A、B,再利用A+B+C-180',求出角C 在有解时只有一解。 1.若 ABC 的三个内角满足 si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是 ( )