解三角形知识点归纳总结

《必修五》解三角形知识点归纳

一、正弦定理

正弦定理：2sinsinsinabcRABC

文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

符号语言：2sinsinsinabcRABC

特点：对称美、和谐美

（一）理解定理

1、正弦定理：在△ABC中，2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】

2、正弦定理的基本作用：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sinsinbAaB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaBAb

3、常用公式及其结论

⑴正弦定理包含三个等式sinsinabAB，sinsinbcBC，sinsinacAC每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一”

(2)三内角和为180即180ABC，222ABC

(3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.abcacbbcaabcbcaacb

(4)面积公式：2111sinsinsin2sinsinsin2224abcSabCbcAacBRABCR

⑸三角函数的恒等变形：sin()sinABC，cos()cosABC ，()tantanABC，sincos22ABC，cossin22ABC，tantan22ABC，tantan+tantantantanABCABC

⑹CBAcbasin:sin:sin::

⑺角化边: CRcBRbARasin2sin2sin2

⑻边化角:RcCRbBRaA2sin2sin2sin

⑼在△ABC中，①若BbAacoscos，则△ABC是等腰三角形或直角三角形; ②若BaAbcoscos，则△ABC是等腰三角形;③若222coscos+cos1ABC或coscoscosaAbBcC，则△ABC是直角三角形.

解三角形中的一些常用的知识点

——周文强2020年2月28日14:19:07

1、 正弦定理【边角转换定理】：2sinsinsinabcRABC===（注：R为ABC的外接圆半径） 边转角：2sin2sin2sinaRAbRBcRC===、、 角转边：sinsinsin

222abc

ABC

RRR===、、

适用的的条件：①边的齐次式；②角的正弦齐次式

2、 余弦定理【一角三边定理】：

22222()2

cos

22bcabcbca

A

bcbc+−+−−

==

22222()2

cos

22acbacacb

B

acac+−+−−

==

22222()2

cos

22abcababc

C

abab+−+−−

==

3、 常用面积公式汇总：

面积公式一【已知底和高】：111

222ABCabcSahbhch

===

面积公式二【已知两边夹一角】：111

sinsinsin

222ABCSabCbcAacB

=== （以角为主导）

面积公式三【已知三边】：

2abc

p++

=，()()()

ABCSppapbpc

=−−−

面积公式四【已知三点的坐标】：

112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy

21213131(,),(,)ABxxyyACxxyy=−−=−−，

2131312111

()()()()

22ABCSABACxxyyxxyy

==−−−−−

4、 面积公式+余弦定理

222

tan

4bca

SA+−

=， 222

tan

4acb

SB+−

=，222

tan

4abc

SC+−

=

5、 中线长定理（D为BC的中点）

2222()

2abca

m+−

=，2222()

2bacb

m+−

=，2222()

2cabc

m+−

=

推导：22

2222

2222()22coscos00

2aaa

ADcADb

bca

BDACDAADm

ADaADa+−+−+−+=+===



其他两个推导方法一致，这里说明下，

am表示边a的中线。

6、 角平分线的两个重要定理（AD为A的角平分线）

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的根本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC

sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC

4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，那么有2sinsinsinabcRC．

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sinaR，2sinbR，2sincRC；

②化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；

③::sin:sin:sinabcC；

④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．

6、两类正弦定理解三角形的问题：①两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况〔一解、两解、三解〕)

7、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar=))()((cpbpapp

8、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，

2222coscababC．

9、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．

10、余弦定理主要解决的问题：

①两边和夹角，求其余的量。

②三边求角〕

11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

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授课主题 解三角形

教学目的 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题及与测量和几何有关的实际问题

教学内容

一、 知识点复习

1、正弦定理及其变形

2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）

12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）

2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）

3::sin:sin:sinabcABC（）

sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC

2、正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）

已知a，b和A，求B时的解的情况:

如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA

如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB>1，则B无解.

3、余弦定理及其推论

2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab

4、余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角；

（2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式

（1）高底21ABCS；

2 （2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；