《对数函数的图象和性质》教学设计

1 《对数函数的图象和性质》教学设计

一、教学内容解析

本小节选自人民教育出版社出版的《普通高中教科书：数学A版》（必修第一册）第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质．

《普通高中课程方案（2017年版）》指出：“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化．”本节课研究的对数函数是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中函数主线中继幂函数、指数函数之后另一个重要的初等函数，是基于研究函数的一般观念的对数函数的研究．

从函数主线的宏观角度来看，学生在初中经过一次函数、二次函数、反比例函数的学习，已经掌握了用变量之间的依赖关系描述函数．高中又通过对应关系说建立了完整的函数体系，并经过了“理论应用，方法示范”过程，对数函数处于高中对函数研究的“巩固方法，丰富经验”的阶段．

从课时学习的微观角度来看：新教材把对数函数的研究拆分成了两个课时，上一个课时已经完成了对函数概念的学习．本节在研究函数的大方向指引下，通过对图象的探索挖掘函数性质，又通过对性质的应用加强对数函数和现实生活间的联系，特别是最后反函数的引入，通过对同一问题中的两个变量用两种不同类型的函数去刻画，使对数函数和指数函数间的关系更加清晰明朗．

本节课蕴含了分类讨论、数形结合等数学思想方法，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养．对数函数的研究方法以及研究的问题具有普遍意义，有利于进一步加深对数学思想方法的理解．

二、教学目标设置

1．通过对研究函数的方法的总结，使学生掌握研究基本初等函数的一般方法，体会函数在数学学习中的重要性，感悟数学思想方法的内在联系．

2．通过对数函数的图象、性质的探究，使学生感受类比推理、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养．

3．通过对情境创设、问题导向的体验，激活学生深度的理性思维．

4．通过合作探究的活动，使学生提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，能够用数学语言准确表述数学问题、数学现象，提升学生的探究力、学习力．

三、学生学情分析

在初中时期，学生们已经学习过了几个简单的初等函数，到了高中阶段，函数便成为了贯穿高中数学的一条主线，对函数的研究也更加的深入．学生已经熟练掌握了对数的运算，2 并已完成了对幂函数、指数函数的研究，所以学生已经基本熟悉了研究基本初等函数的方法和过程：背景——概念——图象和性质——应用，也掌握了数形结合、类比、归纳等数学思想方法．但学生在学习过程中，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，更注重形象思维．

四、教学策略分析

1．按认知规律教学

本节课类比幂函数、指数函数的研究方法，以基本初等函数的研究为单元的大概念教学引领了本节研究方向，符合知识发生的过程和学生学习的规律．

2．采用多样化教学方式

教学过程中教师和学生共同参与，学生为主体，教师为主导，充分发挥学生积极自主的学习精神．其中小组间的合作为学生发现问题、分析问题、解决问题提供了契机；教具（透明坐标纸）的使用，实现了对不同的函数图象的自由组合，也使学生活动更加丰富有趣；信息技术在教学中的使用，增强了图象的直观性，让学生直观感知图象特点，符合新课程理念中的信息技术与课堂的深度融合；数学工具（计算器）的运用，让学生在真实的情境中动手解决实际问题．

3．联系实际，体会数学有用

创设情境，让学生在数学情境中解决问题，加强数学建模活动、数学探究活动的教学．

4．落实严格的数学训练

针对对数函数性质的应用，本节精选了例题和当堂检测，并设置了书面作业和探究作业，做到实时评价，实时反馈．

五、教学过程

环节1：情境创设，方向引领

在研究对数函数之前，学生们研究过几个基本初等函数，比如幂函数、指数函数，也由此得出了研究函数的一般“套路”．首先，由实际问题得到某类函数，并根据解析式特点抽象出这类函数的概念，即：结合实际，抽象概念．接下来，为了要研究函数，就要先作出图象，再根据图象特点去概括性质，即：作出图象，概括性质．最后，回归到研究函数的最终目的上，即：利用性质去解决问题．今天，教师将带领学生按照这个步骤继续研究对数函数．

设计意图：教学的开头，教师以研究函数的一般套路作为研究对数函数的第一个情境，以解决真实情境中的真实问题为导向，激发学生的理性思维．并构造出了研究的大致框架，统领了本节的方向和内容，也为学生今后研究其他的函数问题提供了方法指引．

预设的师生活动：教师向学生展示研究函数的一般方法和过程的思维导图．

环节2：启发诱导，合作探究

构建出研究框架后，为了引导学生研究函数的图象和性质，本节设计了第二个情境——3 类比指数函数图象与性质的研究，这里分为4个活动展开．

活动1：引导学生们回忆，之前在研究指数函数时，先用描点法画了哪几个指数函数的图象呢？通过类比，能否确定本节要先画哪几个对数函数的图象呢？课前教师已经给学生分了组并做了编号，每组都有A、B、C、D四名同学，引导大家根据教师的分工和要求，先完成探究一，并在坐标纸上用描点法画出函数xy2log，xy3log，xy21log，xy31log的图象．（说明：四个人一小组，按照下面图片中的要求每人只画一个图象．）

探究一： x ... 41 21 1 2 4 8 ...

xy2log ... ...

xy21log ... ...

设计意图：在这个活动中，学生经历了类比归纳、经验指导的思维过程，感悟描点法是作函数图象的最基本的方法，由图象得到对函数的感性认知．

预设的师生活动：1．通过类比，确定本节课所要描点作图的具体的对数函数；2．教师带着学生回忆描点作图法的步骤；3．教师对学生分工并布置作图任务；4．教师展示出正确答案之后，抛出问题：为什么自变量取表格中的这些值？让学生思考回答．

活动2：同桌结合（每组的AB结合，CD结合），叠放坐标纸，使两个图象呈现在同一坐标系内，观察图象，学生讨论并总结出它们之间的共同点．从特殊上升到一般，引导学生x ... 91 31 1 3 9 ...

xy3log ... ...

xy31log ... ... A同学填

CB同学填

D同学填 C同学填 4 猜想出当底数10a和1a时的图象．此时学生猜想，老师通过作图软件验证学生的猜想，并引导学生完成探究二.

探究二：

10a 1a

xyalog的图象

设计意图：引导学生通过观察图象特点，猜想并验证对数函数的图象，为总结对数函数的性质做铺垫.在这个活动中，学生对不同图象进行组合、对比，经历了发现——猜想——验证的思维过程．

预设的师生活动：同桌结合，观察讨论，教师点评，通过操作作图软件动态呈现当底数变化时的图象，提问学生：为什么图象恒过点)0,1(呢？最后让学生完成学案上探究二．

活动3：每组的前后两名同学进行结合（AC结合，BD结合），叠放坐标纸，观察图象，此时两图象间有什么关系？（两图象关于x轴对称）教师带领学生证明.

设计意图：通过观察得到底数互为倒数的两图象关于x轴对称这一结论．在本活动中，学生再次对不同图象进行组合、对比，学生再次经历发现——猜想——验证的思维过程，引发了学生积极的思维活动，培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

预设的师生活动：学生叠放坐标纸，观察得到图象的对称性，并沿x轴对折，发现两图象重合（对称事实），教师引导学生去证明．

活动4：根据刚才所得到的对数函数的图象，引导学生以小组为单位，讨论对数函数的性质，并完成学案上的探究三．

探究三：

10a 1a

定义域

值域

过定点

单调性

函数值变化情况 当10x时,y______

当x≥1时,y______ 当10x时,y______

当x≥1时,y______

设计意图：在这个活动中，学生经历了数学抽象的思维过程，渗透数形结合、转化与化归、分类讨论的思想，培养学生抽象概括、直观想象的能力，发展学生数学抽象的核心素养；

体现了教师“按认知规律教学”的理念和策略．

预设的师生活动：学生通过小组讨论得到对数函数的性质并完成探究三，在这个过程中5 教师巡视，指导并参与学生的讨论，选两名同学板演黑板上的性质表格，完成后向大家讲解，教师点评，并展示正确答案，最后引导学生归纳总结．

环节3：应用新知，解决问题

例3 比较下列各组数中两个值的大小：

（1）4.3log2，5.8log2；

（2）8.1log3.0，7.2log3.0；

（3）1.5loga，9.5loga)10(aa，且．

例4 溶液酸碱度的测量．

溶液的酸碱度通过pH计量.pH的计算公式为pH=−lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．

（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10−7摩尔/升，计算纯净水的pH．

追问：胃酸中氢离子浓度是22.510摩尔/升，胃酸的pH是多少？

设计意图：在本环节中，学生体验了数学工具的运用，并经历了模型构建、逻辑推理的思维过程，进一步理解对数函数的单调性，创设真实情境，用函数性质解决实际问题，体会数学有用．

预设的师生活动：在例3中，通过构造函数，应用对数函数的单调性去比较同底数对数的大小，并渗透分类讨论的思想．教师板演第（1）题，学生们回答（2）、（3）题，最后总结本题的心得．在例4中，利用对数函数的相关知识探究实际生活中的真实问题．教师引导学生一起完成数学模型的构建，提出问题，学生回答问题，得出结论，并用计算器完成胃酸pH值的计算．

环节4：拓展新知，思维升华

古生物机体内碳14含量P随着死亡年数t的变化而衰减，它们之间满足指数关系式57300.5tP，定义域为，0，值域为10，，反过来，如果已知碳14含量P，如何求死亡年数t呢？由此引出对数函数57300.5logtP，它们的定义域和值域互换，并说明这两个函数互为反函数．最后教师更改变量的符号，即57300.5xy与57300.5logyx互为反函数．

最后，由探究四中得到的xy2与xy2log互为反函数的结论，得出：一般地，指数函数xay（0a，且1a）与对数函数xyalog（0a，且1a）互为反函数．