《对数函数及其性质》教学设计

2.2.2对数函数及其性质（第一课时）教学设计

一、教学内容解析

1. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，面对纷繁复杂的变化现象，可以根据变化现象的不同特征进行分类研究.现实生活中的推算出土文物或遗址的年代、地震震级的变化规律、溶液PH值的变化规律等，可以用对数函数模型来研究.对数函数是最基本的、应用最广泛的基本初等函数之一，是进一步学习数学的基础.

2. 本课内容是《普通高中课程标准试验教科书（人教A版）》必修1第二章《基本初等函数（Ⅰ）》第二节《对数函数》第二小节的第一课时.本节是一节概念课.既可以类比前面指数函数的研究过程，又为后面幂函数的学习提供研究思路.主要内容是：对数函数的概念与基本性质，并运用它们解决一些简单的实际问题.

3. 本节内容是培养和提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、与数学建模核心素养的重要载体.在实际背景中抽象概括出对数函数的概念；利用具体对数函数的图象，通过归纳推理，发现对数函数的性质；数形结合解决比较两个数大小的问题.这些过程正是培养上述数学学科核心素养的重要过程.

二、教学目标设置

课标要求：

通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

教学目标：

1.通过问题情境，抽象出对数函数的概念，培养学生数学建模、数学抽象的核心素养.

2.类比指数函数及其性质的研究方法，分组做出图象，归纳出对数函数的性质，渗透数形结合、从特殊到一般的学习方法，培养学生自主探究的能力.

3.会求和对数函数有关的函数的定义域，会利用对数函数的单调性比较大小.

三、学生学情分析

1. 刚升入高中的学生在前面已经学习了“函数的概念及其性质”“指数函数”以及“对数的概念与运算性质”，学生的抽象概括能力、探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼，对如何研究一个具体函数方法有了初步的了解.授课学生基础知识比较扎实，具备一定的类比能力.

2. 虽然有“指数函数”的学习作为参照，但是学生在自主探究的过程中分析问题的能力仍然不足，如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质对学生来说仍有一定的难度，尤其是底数a对函数值变化的影响，教学时，教师要适当引导.

四、教学策略分析

在本节课的教学中，主要以问题引导全程，启发学生反复思考，通过小组合作学习，展示学生的学习成果，让学生充分发表自己的观点，在此过程中学生不断将知识、方法内化成为自己的认知结构.这样做可使学生经历新概念产生的过程，认识新旧知识的联系，在过程中感受学习新概念、研究新函数的方法．

五、教学重、难点

重点：对数函数的概念、图象和性质.

难点：引导学生采用数形结合地方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质.

六、教学基本流程

七、教学情境设计

（一)创设情境，引入新课 创设问题情境，引入新课

引导学生给出对数函数的定义

引导学生画出对数函数的图象象

探索对数函数的性质

练习、交流、反馈、巩固

学生归纳小结、教师评价 问题1：你知道考古学家是如何推测出土文物或古遗址年代的吗？

设计意图：创设问题情境，从实际生活中的例子入手，激发学生的求知欲，并体会变量P与t之间的函数关系.

师：从函数的观点引导学生认识Pt215730log（将该函数板书于副板，为提炼对数函数模型做准备）.

（二)探索新知

1.对数函数的定义

问题2：观察上述函数有什么特点？

设计意图：引导学生提炼对数函数模型)10(logaaxya且.

师：引导学生观察函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量（用x表示函数的自变量，用y表示函数值，并将底数抽象为字母a，将解析式概括为xyalog的形式）.

问题3：根据前面对对数的学习，你认为a的取值范围是什么？自变量x的取值范围呢？

设计意图：为对数函数定义的归纳作铺垫.渗透“归纳推理是发现和提出数学命题的重要途径”.

生：学生思考，归纳概括对数函数的定义，尝试用恰当的数学语言予以表达.

师：根据学生的表达，给出对数函数的定义（板书).

问题4：你能根据对数函数的定义，回答下列哪些是对数函数吗？

设计意图：使学生通过求函数的定义域加深对对数函数的理解.

生：独立思考，尝试解决例题，可以小组讨论，交流.

师：课堂巡视，个别辅导，针对学生的共同问题集中解决.

2.对数函数的图象

问题5：前面我们学习指数函数时，都对其哪些性质进行了研究？你能类比指数函数及其性质的研究思路，提出研究对数函数性质的方法吗？

设计意图：给出研究对数函数性质的研究思路.发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好地揭示对数函数的本质属性.

师：引导学生回顾研究指数函数的哪些性质，强调数形结合，强调函数图象在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透归纳概括能力的培养（将学生举出的所要研究的性质板书于副板，为后面观察图象，探究性质作准备).

生：独立思考，提出研究对数函数性质的基本思路.

问题6：如何画出对数函数xy2log和xy21log的图象？请用相同的方法画出函数xy3log和xy31log的图象.

设计意图：会用描点法画函数的图象，学生在学案上的同一坐标系中完成，为归纳对数函数的性质作准备.

生：小组合作画图，互相交流，共同完成.

师：课堂巡视，个别辅导，展示部分学生的图象.并利用《几何画板》演示.

3.对数函数的性质

问题7：观察这些对数函数的图象，你能发现对数函数的哪些性质？请与同学相互交流，并将你的发现填写在学案的相应位置（如果学案所列不完整，请自行列在下面表格).

设计意图：学生在对函数图象感性认识的基础上，发现、概括、归纳对数函数的性质，鼓励学生积极主动参与获得性质的过程.

生：小组合作填表，互相交流，共同完成.

师：课堂巡视，针对学生遇到的具体问题给予适当辅助.

问题8：通过对四个对数函数图象的观察归纳得出的性质不具有一般代表性，如何验证对任意一个对数函数10logaaxya且这些性质都成立呢？

设计意图：通过归纳推理得出的性质是或然成立的，借用《几何画板》让学生经历“从特殊到一般”的学习过程，验证所得性质的一般代表性.

师：利用《几何画板》画出对数函数)10(logaaxya且的图象.

生：学生通过观察不同的底数10aaa且的函数图象，得出性质，相互交流，形成对对数函数性质的认识.

师：总结学生的观察结果，概括对数函数的性质.(若学生对底数10aaa且的分类有困难，则适当引导)

图象特征 函数性质

①这些图象都位于y轴右侧 ①定义域：，0；值域：R

②这些图象都经过定点01， ②无论a为任何正数，总有01loga

③图象可以为分两类，一类图象在区间③当1a时，；则若则若0log,1,0log,10xxxxaa 10，内纵坐标都小于0，在区间，1内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反. 当10a时，；则若则若0log,1,0log,10xxxxaa

④自左向右看，1a时图象逐渐上升；

10a时图象逐渐下降. ④当1a时，xyalog是增函数；

当10a时，xyalog是减函数.

[来源:学|科|网]

（三)典型例题

例1：求下列函数的定义域

（1）10log2aaxya且 ； [来源:学#科#网]

（2）10-4logaaxya且.

设计意图：使学生通过求函数的定义域加深对对数函数的理解，重点并非求函数的定义域，因此不在这里加大难度.

例2：比较下列各组数中两个值的大小：

（1）4.3log2，5.8log2；

（2）8.1log3.0，7.2log3.0；

（3）1.5loga，)10(9.5logaaa且.

（4）0.5log3，3log1.5

（5）6log7，7log6

设计意图：应用对数函数的单调性“比较两个数的大小”，熟悉对数函数的性质，强调应用函数单调性的目的是用函数的观点解决问题的思想方法.

（四)课堂小结

问题9：通过本节课的学习，你有什么收获？教科书是怎样研究对数函数的？

通过本节课的学习，面对后面我们还要学习的新函数，你知道如何入手研究吗？

设计意图：了解学生通过本节课学习的收获，锻炼学生的数学表达能力.

生：思考、小组讨论，推举代表叙述，其它同学补充.

师：根据学生回答的情况进行评价和补充.

八、课后作业

1.教材73页练习2题3题.

2.教材习题2.2A组7题8题. 九、板书设计

2.2.2对数函数及其性质

定义：......

......

性质

例1：