离散时间傅⾥叶变换
1. 离散时间傅⾥叶变换的导出
针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。考虑某⼀序列 x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数 N1 和 N2，在 −N1⩽ 以外，x[n]=0。下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列 \tilde x[n]，使 x[n] 就是 \tilde x[n] 的⼀个周期。随着 N 的增⼤，x[n] 就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n] 相⼀致。⽽当 N\to \infty，对任意有限时间值 n ⽽⾔，有 \tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下 \tilde x[n] 的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}
因为在 -N_1 \leqslant N \leqslant N_2 区间的⼀个周期上 \tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}
现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}
可见这些系数 a_k 正⽐于 X(e^{j\omega}) 的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})
式中，\omega_0=2\pi/N ⽤来记作在频域中的样本间隔。将（1） 和 （5）结合在⼀起，\tilde x[n] 就可以表⽰为\tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0
1第五章离散时间傅立叶变
换
1、如何对离散非周期信号进行频
域分析？——傅立叶变换
2、性质及应用
3、系统的频率响应与频域分析定义离散时间信号的傅里叶变换：
解得：
傅里叶反变换：
21
[]()
2jjn
xnXeeωω
πω
π∴=∫
d；()[]jjn
nXexneωω+∞
−
=−∞=∑
；[]xn
(){[]}j
XeFxnω
=
22
2
2()[]
[]
[]
2[][]2[]jjmjnjm
n
jnjm
n
jnjm
n
nXeedxneed
xneed
xneed
xnmnxmωωωω
ππ
ωω
π
ωω
πωω
ω
ω
πδπ+∞
−
=−∞
∞
−
=−∞
∞
−
=−∞
∞
=−∞=
=
=
=−=∑
∫∫
∑
∫
∑
∫
∑
的傅里叶变换：
的傅里叶反变换：
的特点：连续的，周期为2pi的21
[]()
2jjn
xnXeeωω
πω
π=∫
d；()[]jjn
nXexneωω+∞
−
=−∞=∑
；[]xn
()j
Xeω
()j
Xeω傅立叶
变换
傅立叶
逆变换例1：若如图所示，求其傅里叶变换。
解：根据变换公式[]n
xnaa=u[n]，<1；
0
0()[][]
(
1
1jjnnjn
nn
njn
n
jn
n
jXexneaune
ae
ae
aeωωω
ω
ω
ω+∞+∞
−−
=−∞=−∞
+∞
−
=
+∞
−
=
−=
=
−∑∑
∑
∑=
=
）
=
例2：若如图所示，求其傅里叶变换。
解：根据变换公式[]n
xnaa=，<1；
1
0
01
01
2
2()[]
(()
11
1112cosjjnnjnnjn
nnn
njnmjm
nm
jnjm
nm
j
jjXexneaeae
aeae
aeae
aea
aeaeaaωωωω
ωω
ωω
ω
ωω
ω+∞+∞−
−−−−
=−∞==−∞
+∞+∞
−
==
+∞+∞
−
==
−=
=
−
+=
−−−+∑∑∑
∑∑
∑∑=+
=+
）+
=ωω
cos211
|(|
2)
aaeXj
−+=
ωω
ω
cos1sin
)(1
aa
tgeXj
−−=⊄−
|)(|eX
21||,)(||
<=aanxn
∑∑∑−
−∞=−−+∞
=−+∞
−∞=−
+==1
0||
)(
nnjn
nnjn
nnjnj
eaeaeaeXωωωω
∑∑−
−∞=−+∞
1第三章离散时间信号的
傅里叶变换内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换
2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT）
3、连续时间信号的抽样
4、离散时间周期信号的傅氏级数
5、离散傅氏变换（DFT）
6、利用DFT计算线性卷积
7、希尔伯特变换第三章离散时间信号的傅里叶变换
1、连续时间信号的傅里叶变换
连续周期信号的傅里叶级数
将上面结果推广至一般周期信号，即是傅里叶级数。设是一个复正弦信号，记为，式中
是幅度，是频率，其周期为。若由
无穷多个复正弦组成，且其第个复正弦的频率是
的倍，其幅度记为，则可表示为()
xt
02/Tπ=Ω()
0jtxtXeΩ=X
0Ω()
xt
k
k0Ω
()
xt()
0XkΩ
()()
0
0jkt
kxtXke∞
Ω
=−∞=Ω∑
设是一周期信号，其周期为T，若在一个周
期内的能量是有限的，即()
xt()
xt
()/22
/2T
Txtdt
−<∞∫
则可以展开成上面的傅里叶级数。式中是
傅里叶系数。其值应是有限的，并且满足()
xt()
0XkΩ并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号
能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件
外，还需要满足如下的Dirichlet条件：1、连续时间信号的傅里叶变换
()()
0/2
0
/21
T
jkt
TXkxtedt
T−Ω
−Ω=∫
代表了中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。()
0XkΩ()
xt
①在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限
的。
②在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。
③在一个周期内应是绝对可积的，即
()/2
/2T
Txtdt
−<∞∫
1、连续时间信号的傅里叶变换
-TTA
-τ/2τ/2f(t)
t1、连续时间信号的傅里叶变换
连续非周期信号的傅里叶变换
()2
xtdt∞
−∞<∞∫设是一个连续非周期信号，若，即()
xt()
2xtL∈
则的傅里叶变换存在，定义为：()
xt
()()jtXjxtedt∞
−Ω
−∞Ω=∫
其反变换为
()()1
2jtxtXjed
π∞
Ω
−∞=ΩΩ∫
Ω()
XjΩ其中为角频率，单位是rad/s。是的连
第3章 离散时间傅里叶变换
在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质
3.1.1 非周期序列傅里叶变换
1．定义
一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(nx，则序列)(nx的傅里叶变换(DTFT)为：
正变换： nnjjenxeXnxDTFT)()()]([ (3-1-1)
反变换：
deeXnxeXDTFTnjjj)(21)()]([1 (3-1-2)
记为：
)()(jFeXnx
当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(nx的波形如图3-1所示，求)(nx的傅里叶变换)(jeX
解：由定义式(3-1-1)可得
21sin3sin)()(11)()(252121213336506jjjjjjjjjnjnnjnjeeeeeeeeeeenReX
2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1 离散时间序列)(nx的傅里叶变换存在且连续的条件为)(nx满足绝对可和。即：
)(nxn （3-1-3）
