第3章离散时间傅里叶变换

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第3章 离散时间傅里叶变换

在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质

3.1.1 非周期序列傅里叶变换

1．定义

一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(nx，则序列)(nx的傅里叶变换(DTFT)为：

正变换： nnjjenxeXnxDTFT)()()]([ (3-1-1)

反变换： deeXnxeXDTFTnjjj)(21)()]([1 (3-1-2)

记为：

)()(jFeXnx

当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(nx的波形如图3-1所示，求)(nx的傅里叶变换)(jeX

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解：由定义式(3-1-1)可得

21sin3sin)()(11)()(252121213336506jjjjjjjjjnjnnjnjeeeeeeeeeeenReX

2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：

离散时间序列)(nx的傅里叶变换存在且连续的条件为)(nx满足绝对可和。即：

)(nxn （3-1-3）

反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质

从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z变换在单位圆上的取值(当序列的z变换在单位圆上收敛时)，即：

nnjezjenxzXeXj)()()(

1||1)(21)(zndzzzXjnxdeeXnjj)(21

因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z变换得到。正因如此，下面所述的性质，读者可仿z变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。

1. 线性

设)()]([11jeXnxDTFT，)()]([22jeXnxDTFT，则：

)()()]()([2121jjebXeaXnbxnaxDTFT (3-1-4) 图3-1

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2．移位

设)()]([jeXnxDTFT，则：

)()]([00jnjeXennxDTFT (3-1-5)

证明：00()[()]()jjnnXeDTFTxnnxnne

0000()()()jnnjnjnnjnjxnnennnxneeeXe

3．频移性

设)()]([jeXnxDTFT，则：

)()]([)(00jnjeXnxeDTFT (3-1-6)

4．对称性

为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对称序列与共轭反对称序列。

若序列)(nxe满足下式：

)()(nxnxee (3-1-7)

则称序列)(nxe为共轭对称序列。对实序列而言，有)()(nxnxee，即序列)(nxe为偶对称序列。

若序列)(nxo满足下式：

)()(nxnxoo (3-1-8)

则称序列)(nxo为共轭反对称序列。对实序列而言，有)()(nxnxoo，即序列)(nxo为奇对称序列。

因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列)(nxe和共轭反对称序列)(nxo可由任意一个序列)(nx按下构成

)]()([21)(nxnxnxe (3-1-9)

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)]()([21)(nxnxnxo (3-1-10)

也就是说，对任意一个序列)(nx都可以用共轭对称序列)(nxe和共轭反对称序列)(nxo之和来表示，即：

)()()(nxnxnxoe (3-1-11)

同类可定义傅里叶变换)(jeX的共轭对称分量和共轭反对称分量：

)()()(jojejeXeXeX

(3-1-12)

)]()([21)(jjjeeXeXeX (3-1-13)

)]()([21)(jjjoeXeXeX (3-1-14)

其中)(jeeX称为傅里叶变换)(jeX的共轭对称分量，满足)()(jejeeXeX；)(joeX 称为共轭反对称分量，满足)()(jojoeXeX。式(3-1-12)表示序列)(nx的傅里叶变换)(jeX也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。

与序列的情况相同，若)(jeX为实函数，且满足共轭对称，即)()(jjeXeX，则称为频率的偶函数。若)(jeX为实函数，且满足共轭反对称，即)()(jjeXeX，则称为频率的奇函数。

若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列)(nx有如下性质：

(1) 序列)(nx的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即

)()]}({Re[jeeXnxDTFT (3-1-15)

(2) 序列)(nx的虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即

)()]}(Im[{joeXnxjDTFT (3-1-16)

(3) 序列)(nx的共轭对称分量)(nxe和共轭反对称分量)(nxo的傅里叶变换分别等于序列的傅里叶变换的实部和j乘以虚部，即

)]([)]([jeeeXRnxDTFT (3-1-17)

)]([)]([jmoeXjInxDTFT (3-1-18)

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(4) 若)(nx是实序列，则其傅里叶变换)(jeX满足共轭对称性，即

)()(jjeXeX (3-1-19)

也就是说：

)]([)]([jejeeXReXR (3-1-20)

)](Im[)](Im[jjeXeX (3-1-21)

由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数。

(5) 序列)(nx的傅里叶变换)(jeX的极坐标表示形式为：

)](arg[)()(jeXjjjeeXeX (3-1-22)

对实序列)(nx，有：

)()(jjeXeX (3-1-23)

)](arg[)](arg[jjeXeX (3-1-24)

也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是的偶函数，而相角是的奇函数。

5．时域卷积定理

若)()()(nhnxny，则有：

)()()(jwjwjweHeXeY (3-1-25)

证明：由卷积和定义有mmnhmxnhnxny)()()(*)()(，等式两边作傅里叶变换得：

nnjmjemnhmxeY)()()(

令mnk，则上式可改写为：kmmjkjjeemxkheY)()()(

)()()()(jjmmjkkjeHeXemxekh

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6．频域卷积定理

若)()()(nhnxny，则

)()(21)(jjjeHeXeY

deHeXjj)()(21)( （3-1-26）

7．帕塞瓦尔（Parseval）定理

deXnxjn22)(21)( (3-1-27)

表3-1 综合了DTFT的性质，这些性质在以后的分析问题和实际应用中是非常重要的。表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。

表3-1序列的傅里叶变换的性质

序 列 傅里叶变换 序 列 傅里叶变换

)(nx )(jeX )(0nnx )(0jnjeXe

)(*nx )(*jeX )(nx )(jeX

)()(21nbxnax )()(21jjebXeaX )(nnx dedXjj)(

)()(21nxnx )()(21jjeXeX )()(21nxnx )()(2121jjeXeX

)(Renx )(jeeX )(Imnxj )(joeX

)(nxe )(RejeX )(nxo )(ImjeXj

nnx2)(=deXj2)(21 nnynx)()(*=deYeXjj)()(21*

[例3-2] 若)(nx的傅里叶变换为)(jeX，求下面序列的傅里叶变换：

(1))(nkx(k为常数) (2))4(nx (3))(nx (4)为奇数为偶数nnnxng0)2()(

解：根据序列傅里叶变换的定义及性质有：

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(1) )()(jFekXnkx