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第3章离散傅里叶变换(DFT)

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第3章离散傅里叶变换(DFT)

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第3章离散时间傅里叶变换

第3章离散时间傅里叶变换

第3章 离散时间傅里叶变换

在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质

3.1.1 非周期序列傅里叶变换

1．定义

一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(nx，则序列)(nx的傅里叶变换(DTFT)为：

正变换： nnjjenxeXnxDTFT)()()]([ (3-1-1)

反变换：

deeXnxeXDTFTnjjj)(21)()]([1 (3-1-2)

记为：

)()(jFeXnx

当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(nx的波形如图3-1所示，求)(nx的傅里叶变换)(jeX

解：由定义式(3-1-1)可得

21sin3sin)()(11)()(252121213336506jjjjjjjjjnjnnjnjeeeeeeeeeeenReX

2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1 离散时间序列)(nx的傅里叶变换存在且连续的条件为)(nx满足绝对可和。即：

)(nxn （3-1-3）

DFT变换

DFT变换

第三章 离散傅立叶变换(DFT)

3．1 引言

有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。

(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。)

一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）

设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：

可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非连续，非周期

非周期，连续 周期造成频域是连续的谱。

二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数

设f(t)代表一个周期为T1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，f(t)和组成变换对，表示为:

（）

注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T表示（采样间隔）。采样脉冲信号的频率为

可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱

三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换 nFnFtjnnneFtf1)(112TdtetfTFTTtjnn221111)(1Ts2连续，周期 （时域周期为T1）

非周期，离散 （离散间隔为1） 正变换：DTFT[x(n)]=

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题

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数字信号处理 第三版

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

习题

1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定义为

(1) x(n)=1

(2) x(n)=δ(n)

(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N

(4) x(n)=Rm(n) 0mN

(5) n ) jNmn N x(=e,0 m

π 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π

(7) x(n)=ejω0nRN(n)

(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)

(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)

(10) x(n)=nRN(n)

2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］

Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ 2

0 N k=m k=N m其它k

Njθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k

其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。

3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：

做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。

， 4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］

数字信号处理 第三版

证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k)

5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理

1x(0)=N∑X(k)

k=0N 1

6． 设x(n)的长度为N， 且

X(k)=DFT［x(n)］ 0≤k≤N－1

令

h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数

第三章 离散傅立叶变换

第三章 离散傅立叶变换

第三章 离散傅立叶变换

一、离散傅立叶级数

计算题：

1．如果)(~nx是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把)(~nx看作周期为N的周期序列有)(~)(~1kXnx（周期为N）；把)(~nx看作周期为2N的周期序列有)(~)(~2kXnx（周期为2N）；试用）（kX1~表示）（kX2~。

二、离散傅立叶变换定义

填空题

2．某DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。

3．某序列DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。

4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。

5．采样频率为HzFs的数字系统中，系统函数表达式中1z代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(nx的序号n代表的样值实际位置是（ ）；)(nx的N点DFT)kX（中，序号k代表的样值实际位置又是（ ）。

6．用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔f为_______,数字角频率间隔w为 _______和模拟角频率间隔 ______。

判断说明题：

7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。

（ ）

计算题

8．令)(kX表示N点的序列)(nx的N点离散傅里叶变换，)(kX本身也是一个N点的序列。如果计算)(kX的离散傅里叶变换得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx。

9．序列0,0,1,1)(nx，其4点DFT)(kx如下图所示。现将)(nx按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）