高中数学《二分法求零点》导学案

高中数学必修1《用二分法求方程近似解》说课稿

高中数学必修1《用二分法求方程近似解》说课稿

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一、本节课内容的数学本质

本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。

所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。

二、本节课内容的地位、作用

“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。

三、学生情况分析

学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

四、教学目标定位

根据教材内容和学生的实际情况，本节课的教学目标设定如下：

通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。

用二分法求方程的近似解

一、教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．

二、学生学习情况分析

学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．

三、设计思想

倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.

四、教学目标

通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．

五、教学重点和难点

1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

六、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标：

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计： 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设计 师生双边互动

创

设

情

境 材料一：二分查找(binary-search)

（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500

二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy的零点（即0)(xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．

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1 / 8 一. 教学内容：

函数的零点与二分法

二. 学习目标

1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。

2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；

3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。

三. 知识要点

1、函数的零点

一般地，如果函数()yfx在实数a处的值等于零，即()0fa，则a叫做这个函数的零点。

归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。

说明：

（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零；

（2）对于函数的零点问题我们只在实数X围内讨论；

（3）方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式

2、函数零点的意义：

函数)x(fy的零点就是方程0)x(f的实数根，亦即函数)x(fy的图象与x轴交点的横坐标．

归纳：方程0)x(f有实数根函数)x(fy的图象与x轴有交点函数)x(fy有零点．

3、函数零点存在性的判定方法

对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？

如果函数)x(fy在区间b,a上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b(f)a(f，word

2 / 8 那么，函数)x(fy在区间b,a内有零点.即存在b,ac，使得0)c(f，这个c也就是方程0)x(f的根。

说明：（1）函数)x(fy在区间b,a上有定义；

（2）函数的图象是连续不断的一条曲线；

（3）函数)x(fy在区间b,a两端点的函数值必须满足0)b(f)a(f；