(整理版)用二分法求函数零点

《用二分法求函数的零点》 讲义

一、什么是函数的零点

在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。简单来说，如果存在一个实数 x₀，使得函数 f(x₀) ＝ 0，那么 x₀ 就是函数

f(x) 的零点。

例如，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0，解得 x

＝ 1。所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。

函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在解决方程的根、函数的性质等问题中具有重要的作用。

二、为什么要用二分法求函数的零点

在实际问题中，我们经常需要找到函数的零点，但有些函数的零点很难直接通过解方程得到。这时候，二分法就成为了一种非常有效的方法。

二分法的基本思想是通过不断缩小零点所在的区间，逐步逼近零点的精确值。它利用了函数的连续性和介值定理，即如果函数在一个区间的两端点取值异号，那么在这个区间内必然存在至少一个零点。

相比于其他复杂的数值方法，二分法简单易懂，计算量相对较小，并且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。

三、二分法的原理 假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b)

＜ 0），那么根据零点存在定理，在区间 （a, b) 内至少存在一个零点。

我们取区间的中点 c ＝ （a ＋ b) ／ 2，计算 f(c) 的值。

如果 f(c) ＝ 0，那么 c 就是函数的零点。

如果 f(c) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, c 内，我们就把区间 a,

b 缩小为 a, c。

如果 f(c) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 c, b 内，我们就把区间 a,

b 缩小为 c, b。

这样不断重复上述步骤，每次都将区间缩小一半，直到区间的长度足够小，或者达到我们所要求的精度，此时区间的中点就可以作为零点的近似值。

四、二分法的具体步骤

1、 确定初始区间 a, b，使得 f(a) × f(b) ＜ 0。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法

整体设计

教学分析

求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．

三维目标

1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．

2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．

3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．

重点难点

教学重点：用二分法求方程的近似解．

教学难点：二分法．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？

生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．

生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……

生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……

师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？

生：(齐答)按照生3那样来检测．

师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．

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专业技术 整理分享

１、二分法的概念 用二分法求方程的近似解

对于在区间[a, b]上连续不断且 f (a) · f (b) < 0 的函数 y f (x) , 通过不断把函数

f (x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似

值的方法叫二分法。

２、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤：

（１）确定区间[a, b], 验证： f (a) · f (b) < 0，确定精确度

（２）求区间(a , b)的中点 x1

（３）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) =0, 则就 x1 是函数的零点

若 f (a) · f (x1 ) <０，则令 b = x1 （此时零点 x0∈(a,

x1 )）

若 f (x1 ) · f (b) <０，则令 a = x1 （此时零点 x0∈( x1 , b)）

（４）判断是否达到精确度

即若 | a – b | <, 则得到零点的近似值为 a（或 b），否则重复（２）～（４）

3、用二分法求函数零点的条件：

若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。例题讲解：

例 1：下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）

解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。 1 例 2、 利用二分法求方程 x  3  x 的一个近似解（精确到 0.1）。

解：设 f x  1  x  3 ，则求方程 1  3  x 的一个近似解，即求函数 f x 的一个近似零

x x

点。∵ f 2   1  0 ， f 3  1  0 ，∴取区间2,3作为计算的初始区间。

2 3

用二分法逐次计算，列表如下： 端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间

用二分法求函数零点

二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()yfx在闭区间[]ab，上的图象连续不间断；②()()0fafb．二分法不适合不变号零点的情况．

二分法求零点的根本方法是：

第一步 取初始区间[]ab，，使()()0fafb，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；

第二步 取区间[]ab，的中点1x，求1()fx的值，并作出判断，假设11()0fxx，就是所求零点，计算结束；假设1()0fx，判定零点是在区间1[]ax，还是在1[]xb，上，即判断1()()0fafx，1()()0fxfb哪一个成立，从而进入下一步计算；

第三步 对已确定的区间，重复第二步，直到到达规定的误差要求，计算结束.

实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]nnab，，当 2nnab时，区间[]nnab，的中点1()2nnnxab就是函数()yfx的近似零点，这时函数()yfx的近似零点与真正零点的误差不超过.这也就是说：函数的零点总位于区间[]nnab，内，得到一系列的有根区间0011[][][]nnababab，，，[]nnab，的长度为nd，那么00122nnnnnnbadbaxcd，，即0012nnbaxc〔其中c为函数的真正零点〕.所以当2nnab时，1122nnnnxcdba.反过来，由nxc出发，0000111222nnnnbabaxcd，〔为精确度要求，00ab，为初始区间端点值〕，根据该式可以确定n的最小值0n，这样我们做题时就可以事先知道需要0n次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.

例 用二分法求函数32()33fxxxx的正零点〔精确到0.01〕.

解：

3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(3)(3)0fxxxxxxxxxxxx ∴函数的零点为133，，．