高一数学函数的零点与二分法教案
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1 / 8 一. 教学内容：
函数的零点与二分法
二. 学习目标
1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系；
3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。
三. 知识要点
1、函数的零点
一般地，如果函数()yfx在实数a处的值等于零，即()0fa，则a叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
说明：
（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零；
（2）对于函数的零点问题我们只在实数X围内讨论；
（3）方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式
2、函数零点的意义：
函数)x(fy的零点就是方程0)x(f的实数根，亦即函数)x(fy的图象与x轴交点的横坐标．
归纳：方程0)x(f有实数根函数)x(fy的图象与x轴有交点函数)x(fy有零点．
3、函数零点存在性的判定方法
对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？
如果函数)x(fy在区间b,a上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b(f)a(f，word
2 / 8 那么，函数)x(fy在区间b,a内有零点.即存在b,ac，使得0)c(f，这个c也就是方程0)x(f的根。
说明：（1）函数)x(fy在区间b,a上有定义；
（2）函数的图象是连续不断的一条曲线；
（3）函数)x(fy在区间b,a两端点的函数值必须满足0)b(f)a(f；
（4）函数)x(fy在区间b,a内有零点，但不唯一；
（5）用判定方法验证函数2x)x(f，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
4、函数零点的求法：
Ⅰ：可以解方程0)x(f而得到（代数法）；
Ⅱ：可以将它与函数)x(fy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法）
5、二次函数零点的判定
二次函数2yaxbxc的零点个数，方程20axbxc的实根个数见下表。
判别式 方程的根 函数的零点
0 两个不相等的实根 两个零点
0 两个相等的实根 一个二重零点
0 无实根 无零点
6、二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（变号零点），函数值变号。
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
引申：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。
7、二次函数的零点的应用
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。
注：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。
8、用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：在D内取一个闭区间00,abD，使0fa与0fb异号，即000fafb，零点位于区间00,ab中。
第二步：取区间00,ab的中点，则此中点对应的坐标为 word
3 / 8 0000001122xabaab。
计算0fx和0fa，并判断：
①如果00fx，则0x就是fx的零点，计算终止；
②如果000fafx，则零点位于区间00,ax中，令1010,aabx；
③如果000fafx，则零点位于区间00,xb中，令1010,axbb
第三步：取区间11,ab的中点，则此中点对应的坐标为
1111111122xabaab。
计算1fx和1fa，并判断：
①如果10fx，则1x就是fx的零点，计算终止；
②如果110fafx，则零点位于区间11,ax中，令2121,aabx；
③如果110fafx，则零点位于区间11,xb中，令2121,axbb
……
继续实施上述步骤，直到区间,nnab，函数的零点总位于区间,nnab上，当na和nb按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yfx的近似零点，计算终止。这时函数yfx的近似零点满足给定的精确度。
【典型例题】
例1. 利用二分法求方程x3x1的一个近似解（精确到）。
解：设3xx1)x(f，则求方程x3x1的一个近似解，即求函数)x(f的一个近似零点。
∵021)2(f，031)3(f，∴取区间3,2作为计算的初始区间。
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间
3,2
5.2x0 01.0)5.2(f 3,5.2
75.2x0 011.0)75.2(f 75.2,5.2 word
4 / 8 625.2x0 0006.0)625.2(f 625.2,5.2
5625.2x0 0047.0)5625.2(f 625.2,5625.2
∵区间625.2,5625.2的左右端点精确到所取的近似值都是，
∴函数)x(f满足题设的一个近似零点是
故方程x3x1满足题设的一个近似解是
评析：利用二分法可以求方程（两曲线交点横坐标）的近似解。利用二分法求函数的变号零点时，只需按照方法步骤机械地重复计算。直至求出满足题设要求的一个近似零点为止。
例2.
二次函数)Rx(cbxaxy2的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________。
解：由上表提供信息，知函数的零点是－2，3，且开口向上，借助二次函数示意图可得函数值大于0的自变量的取值集合是),3()2,(
评析：分析图表，得到函数零点，开口方向是解题关键。
例3、已知函数6x5x2x)x(f23的一个零点为1
（1）求函数的其他零点；
（2）求函数值大于0时自变量x的取值X围。
解：（1）由题意，设nx)mn(x)1m(x)nmxx)(1x()x(f232，
∴6n5mn21m解得6n1m
令0)x(f，即0)6xx)(1x(2，解得x1，－2，3
∴函数的其他零点是－2，3
（2）函数的三个零点将x轴分成4个区间：
]2,(，]1,2(，]3,1(，],3(
作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x的取值X围是：),3()1,2(
评析：（1）函数)x(fy的零点就是方程0)x(f的实数根，方程有几个实数根函数就有word
5 / 8 几个零点，方程没有实数根，函数就没有零点；（2）借助函数零点作出函数的示意图，借助图象可求出函数值大于或小于零时自变量的取值X围（即不等式0)x(f或0)x(f的解集）。
例4. 若二次函数1mxxy2的图象与两端点为)0,3(B),3,0(A的线段AB有两个不同的交点，某某数m的取值X围。
解：线段AB的方程是)3x0(3yx
由题意，得方程组1mxxy3yx2在3x0上有两组实数解
解得：04x)1m(x2在3x0上有两个实根
令4x)1m(x)x(f2，则二次函数)x(f在3x0上有两个零点。
∴04)1m(39)3(f04)0(f321m0016)1m(2解得310m3
故实数m的取值X围是310,3
本讲涉及的主要数学思想方法
1. 在对二次函数的零点与方程的根的关系的研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。
2. 通过由零点的性质作函数图象的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。
3. 体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法求函数零点近似解的过程，初步体会数形结合、逼近、近似算法等重要数学思想方法，提高学习数学知识的综合应用能力。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1、方程lgx＋x＝0的根所在的区间是（）
A. （－∞，0） B. （0，1） C. （1，2） D, （2，4）
2、若函数bax)x(f的零点是2，则函数axbx)x(g2的零点是（）
A. 0，2 B. 0，21 C. 0，21 D. 2，21 word
6 / 8 3、已知偶函数f（x）的图象与x轴共有四个交点，则函数f（x）的所有零点之和等于（）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
**4、若函数2x2xx)x(f23的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）＝－2 f（）＝ f（）＝－
f（）＝－ f（）＝ f（）＝－
那么方程02x2xx23的一个近似根（精确到）为（）．
B. 1.3 C
5、函数)0a(cbxax)x(f2的零点为2，3，若2＜x＜3,则f（x）的值（）
A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定正负
*6、设函数2,0,()(4)(0),(2)2,2,0.xbxcxfxfffx若则关于x的方程x)x(f解的个数为（）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
*7、若函数baxx)x(f2的两个零点是2和4，则实数a、b的值为_________。
8、若方程ax2－x－1＝0在（0，1）内有解，则实数a的取值X围是_____。
**9、若函数（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是______。
三、解答题
*10、已知二次函数（x）＝x2－（m－1）x＋2m在区间[0,1]上有且只有一个零点，某某数m的取值X围。
11、求函数32()33fxxxx的零点。
**12、已知函数f（x）＝xax2x2,x∈［1,＋∞)
（1）当a＝21时，求函数f（x）的最小值。
（2）若对任意x∈［1,＋∞),f（x）＞0恒成立，试某某数a的取值X围。
