《用二分法求函数的零点》 讲义

第 1 页 巧用Excel求函数的近似零点

南京外国语学校仙林分校(210000) 周永道

新课程标准数学必修1新增了用二分法求函数的近似零点内容，其目的是让学生加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用，适应现代信息技术飞速发展的需要．

二分法比较抽象，学生不易理解，加之运算繁杂，增添了学习与教学的难度．即便使用计算器，也难逃算错或费时的命运．本文介绍利用Excel表格求函数近似零点的方法，能方便准确地求出函数的近似零点，供读者参考．

利用Excel求函数的近似零点的一般步骤：

(1)用Excel表格确定零点的大致位置；

(2)用Excel表格求零点的近似值；

(3)写出符合题意近似要求的近似零点．

例1 求函数f(x)＝x3－3x2＋2x－5的近似零点(精确到0.001)．

解

先寻找函数零点的位置，如下表1：

x -1 0 1 2 3 4

f(x) -11 -5 -5 -5 1 19

（表1）

由表1可知，函数的零点在区间(2，3)．

用二分法求函数的近似零点．利用Excel表格逐步计算，如下表2：

中点坐标 中点函数值 区间左端点 区间右端点 误差值|an-bn|

f(2)<0, f(3)>0 2 3 1

2.5 -3.125 2.5 3 0.5

2.75 -1.390625 2.75 3 0.25

2.875 -0.283203125 2.875 3 0.125

2.9375 0.335693359 2.875 2.9375 0.0625

2.90625 0.0206604 2.875 2.90625 0.03125

2.890625 -0.132656097 2.890625 2.90625 0.015625

2.8984375 -0.056345463 2.8984375 2.90625 0.0078125

2.9023438 -0.017929614 2.90234375 2.90625 0.00390625

用二分法求函数零点

二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()yfx在闭区间[]ab，上的图象连续不间断；②()()0fafb．二分法不适合不变号零点的情况．

二分法求零点的根本方法是：

第一步 取初始区间[]ab，，使()()0fafb，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；

第二步 取区间[]ab，的中点1x，求1()fx的值，并作出判断，假设11()0fxx，就是所求零点，计算结束；假设1()0fx，判定零点是在区间1[]ax，还是在1[]xb，上，即判断1()()0fafx，1()()0fxfb哪一个成立，从而进入下一步计算；

第三步 对已确定的区间，重复第二步，直到到达规定的误差要求，计算结束.

实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]nnab，，当 2nnab时，区间[]nnab，的中点1()2nnnxab就是函数()yfx的近似零点，这时函数()yfx的近似零点与真正零点的误差不超过.这也就是说：函数的零点总位于区间[]nnab，内，得到一系列的有根区间0011[][][]nnababab，，，[]nnab，的长度为nd，那么00122nnnnnnbadbaxcd，，即0012nnbaxc〔其中c为函数的真正零点〕.所以当2nnab时，1122nnnnxcdba.反过来，由nxc出发，0000111222nnnnbabaxcd，〔为精确度要求，00ab，为初始区间端点值〕，根据该式可以确定n的最小值0n，这样我们做题时就可以事先知道需要0n次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.

例 用二分法求函数32()33fxxxx的正零点〔精确到0.01〕.

解：

3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(3)(3)0fxxxxxxxxxxxx ∴函数的零点为133，，．

用二分法求方程的近似解

１、二分法的概念

对于在区间[a, b]上连续不断且)(af·)(bf< 0的函数)(xfy, 通过不断把函数)(xf的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。

２、用二分法求函数)(xf的零点的近似值的步骤：

（１）确定区间[a, b], 验证：)(af·)(bf< 0，确定精确度

（２）求区间(a , b)的中点1x

（３）计算)(1xf 若)(1xf=0, 则就1x是函数的零点

若)(af·)(1xf<０，则令b =1x（此时零点x0∈(a, 1x)）

若)(1xf·)(bf<０，则令a =1x（此时零点x0∈(1x, b)）

（４）判断是否达到精确度

即若 | a – b | <, 则得到零点的近似值为a（或b），否则重复（２）～（４）

3、用二分法求函数零点的条件：

若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。

例题讲解：

例1：下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）

解：应选B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。

例2、 利用二分法求方程xx31的一个近似解（精确到0.1）。

解：设31xxxf，则求方程xx31的一个近似解，即求函数xf的一个近似零点。∵0212f，0313f，∴取区间3,2作为计算的初始区间。

用二分法逐次计算，列表如下：

端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间

∵区间625.2,5625.2的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6，

∴函数)x(f满足题设的一个近似零点是2.6 故方程xx31满足题设的一个近似解是2.6

２０１４年第７期　中学数学研究　・４３・　

于是，ｓ△　Ｄ，＝　１　Ｉ　｛・ｉ　１＝　成立）．故ＳＡＥＯｒ的最小值为　ｂ３　

≥　ｂ４＝　ｂ３（当且仅　＝土　２－ａ　±　时等号　

Ｇ（７Ｇ邑雷　

用导数零点的设而不求化简函数极值式　

云南省曲靖市第一中学　（６５５０００）　张国坤　

有一类与求函数　）极值相关的问题，作为通　

性通法，先求导函数厂（　），令厂（　）＝０求导函数　厂（　）的零点，再由单调性判定其零点是否是极值　

点，然后求出极值或续求相关问题．然而　（　）的零　点可能无法求出（如多数超越方程），或者零点表达　

式复杂（参数表达者更甚），使极值的计算、化简或　

推演繁琐．正因为如此，这类问题就变成了所谓难　

题，处理这类问题的一个策略就是对导数　（　）的　

零点“设而不求”，设　是厂（　）的一个零点，将　

（　。）＝０作为等式整体参与极值　。）的化简或　

推演．下面通过例题来分析较有代表性的几类问题．　

１、可求极值点但极值计算偏烦或无法化简的问　

题　

例１　函数　－ｃ）＝ａ－ｃ　＋　＋　＋ｄ（ａ≠Ｏ）　

存在极值，请求出函数　）的极值．　解　（　）＝３ａ－ｃ　＋２ｂｘ＋ｃ（ａ≠Ｏ），△＝（２ｂ）　

一４・３ａ・ｃ＝４（ｂ　一３ａｃ）　）存在极值营△＞　

０　一３ａｃ＞０．厂（－ｃ）＝：０的两个实根　１＝　

一６一￣／６　一３口ｃ　—ｂ　——＿＿　一　ｚ　一　＋　．　『二　

当ｂ≠０且ｂ‘一３ａｃ不是完全平方数时，直接将　

石　．　代入求解极值　）√（　：）将显得繁琐．考虑　

“先化简再求值”，统一记厂（　）的零点为　，则　

。）＝３ａｘ２ｏ＋２ｂｘｏ＋ｃ（口≠０），　２一　（从　

左到右具有降幂功能）　）＝ａ－ｃＯ・－ｃ　＋６　＋Ｃ－Ｃ０　

＋ｄ＝％．（＿　２＋　。＋ｄ＝争　＋　

争。＋ｄ＝　（一　＋　２ｃ。＋ｄ＝（　一　

２　ｂｚ）　。＋　一等　从而得　）的两个极值　）＝（丁２ｃ一２－　口－５２）　

＋ｄ一美＝…　＝（２ｅｊ一尝）　ｄ一９ｂｃ口　…．