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矩阵的--线性方程组

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. -可修编- . 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9

§1 矩阵的初等变换

1. 定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换

(1)对调矩阵两行： jirr

(2)数k乘矩阵某一行：jkr

(3)数k乘以矩阵某一行加到另一行的对应元素上：jikrr

把定义中的“行”换成“列”，称为矩阵的初等列变换。

矩阵的初等变换-----矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。

例，对三阶单位矩阵100010001E做初等变换。

100010001E21~rr100001010=E(1,2),

100010001E23~r100030001= E(2(3)),

100010001E213~rr100010031=E(1，2(3)),

初等方阵

定义 初等方阵

对单位矩阵施行一种初等变换得到的矩阵。

有三种初等方阵：E( i, j ), E(i(k)), E(i, j(k))

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. -可修编- . 2. 等价矩阵 （P59）

等价矩阵的定义

如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B行等价:BAr~

如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B列等价: BAc~

如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价：A ~ B

等价矩阵的性质

(1)反身性 A~ A

(2)对称性 若A~ B, 则 B ~ A

(3)传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则A ~ C

3. 阶梯形矩阵

阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数，随着行数的增加而严格增加. 下面矩阵是阶梯形：

下面矩阵不是阶梯形： .

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4. 行最简形矩阵

在阶梯形矩阵当中，非零行的第一个非零元素是1，且所在列其它元素是0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。

例题：把下面矩阵化为行最简形矩阵。

34732038234202173132A

方法：

先化为阶梯形矩阵：

方法：用初等变换（行初等变换）

目标：上三角形

再化非零行第一个非零元素为1，并把所在列的其他元素化为0。

。。。。。。 .

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. -可修编- . 231371202412024120242313701111~~32830328300889122374323743077811A

120241202412024011110111101111~~~08891200014000140778110001400000

（再化行最简形）

12004100020110301103~~00014000140000000000

机动例：

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再把上述矩阵化为行最简形。

5. 矩阵的标准形

任何一个nm矩阵A,总可以经过初等变换把它化为标准形

nmrOOOEF,

标准形由m, n, r三个数完全确定，其中r是行阶梯形中非零行的行数。

例如 P61, FB00000001000001000001~000003100030110401015

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. -可修编- . 6. 用矩阵的初等行变换方法求逆矩阵

（1）理论准备

方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵tPPP,,,21,

使 tPPPA21.

（2）求逆矩阵的方法

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7. 用矩阵的初等行变换方法求矩阵方程

(A | B ) 初等行变换→ （ E | BA1）

例3（P65）

求解矩阵方程BAX，其中231221312A，520211B。

解：方程两边左乘A逆阵：1XAB，

（有两个方法求1XAB：

方法一：先求A的逆阵1A，再做乘法运算1AB。

方法二：利用行初等变换：(A | B ) 初等行变换→ （ E | BA1）。

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. -可修编- . 例1（P64）

设264211112A的最简形矩阵为F，求F, 并求一个可逆矩阵P，使 PA= F.

方法： （A | E ）初等行变换→ （ F | P ）

6作业 P 78

1 （1） （2）， 2， 3（1），4（1），5（1）

堂上练习 题6（注意矩阵方程的表示，求解）

§2 矩阵的秩

1.定义

定义3A的k阶子式

在矩阵A中任选k行k列，这些行列交叉处的元素按原来顺序组成的一个行列式称为矩阵 A的k阶子式。

定义4矩阵的秩

如果矩阵A中不等于0的子式最高阶数为r，则称r 为矩阵的秩.记为R(A), 即R(A)=r.

2．结论

满秩矩阵

可逆矩阵成为满秩矩阵，此时0A .

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0A, R(A)= n,

0A, R(A)< n.

定理2 若A ~ B, 则 R(A)= R(B).

推论 若可逆矩阵P, Q使 PAQ=B, 则R(A)= R(B)。

3．计算矩阵秩的方法

按定义求矩阵的秩的方法

找到一个r阶子式不等于0，证明所有r+1阶子式全等于0

此时，R(A)=r

例 计算下列矩阵的秩

00000130001220020121A,43363320422012166242B

A有一个三阶子式不为零，即06300220011，

A的所有四阶子式全为零（因为A的所有四阶子式的最后一行全为零），所以A的秩等于3，即R(A)=3。

事实上，A是一个阶梯形矩阵, 关于矩阵的秩有下面的结论：

矩阵的秩 = 阶梯形矩阵中的阶梯个数。

即 矩阵的秩 = 阶梯形矩阵中非零行向量的个数

用初等行变换方法求矩阵的秩 .

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. -可修编- . 用初等行变换方法把矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵中非零行向量的个数即为矩阵的秩。

解：用初等行变换方法求B的秩，并求B的一个最高阶非零子式。

43363320422012166242B43363320426624220121

2360012200260002012126000236001220020121

2600013000236002012100000130002360020121

因为不为零的行向量有三个，所以B的秩等于3, 即R(B)=3。

在阶梯形矩阵当中，由前三行的第1，3，4列所构成的三阶子式不为零（018300360011），所以，在B中选相应的三阶子式也不为零，即012202011622。

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请简述线性方程组

请简述线性方程组

- 1 - 请简述线性方程组

从本质上说，线性方程组只不过是向量和向量之间的一种关系。它们不仅反映了空间的线性关系，还反映了时间的线性关系。它们既可以表示实际问题中的数学模型，又可以描述日常生活中的各种物理量和物理现象，为人类解决许多实际问题提供了便利条件。因此，它在工农业生产、医药卫生、军事科研和交通运输等领域得到广泛应用。

线性方程组是一个集合，而向量空间则是由向量组成的一个线性空间。线性方程组就是这样一个集合，但它不是一个普通的集合，因为其中每一个量都含有两个自变量，即两个未知数，一般称为未知数。也正是这两个未知数使得原来的代数方程式具有了新的意义，其中一个已知数代表的是自变量的取值范围，另一个未知数代表的是自变量所处的变化区间。例如： x=0——实数； x=1——自变量在定义域内；

x=-1——实数在负无穷到正无穷之间； x=1——自变量在-1到1之间； ……

“线性方程组”是由一些元素组成的一种基本代数结构。由于线性方程组中每一个方程都有一个相同的变量(未知数)和两个相同的未知数(系数)，所以我们又把线性方程组称作“方程组”。这个概念最早由中国宋朝数学家秦九韶在他的《数书九章》中提出来。当时他给出的第一个方程组中，只含有两个方程，这些方程经过演变，后来发展成了包括n个方程的“ n元一次方程组”。也就是说，线性方程组包括了n个未知数， n个方程，而这n个方程中的每一个方程对应一个未知数，而这n个方程中的每一个方程对应一个未知数，又叫 - 2 - 做线性方程组的一个“解”。

线性方程组也有一定的局限性，那就是当x和y在变化区间为零时，方程式不再是一个线性方程组，此时该方程组没有解，也就是没有唯一的解。线性方程组不仅可以解决数学中的一些难题，还可以解决一些实际问题。例如，日常生活中的几乎所有物理现象都可以归结为某种物理模型。比如在交通运输中，运用“高速铁路”模型，大大减少了运输时间，在医学领域，利用核磁共振成像技术进行疾病诊断和手术，并根据成像的不同信号得到不同的病症，等等。

矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例

求解线性方程组

979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx (1)

(1) )(1B )(2B )(3B

00304244324321xxxxxxxx )(4B

问题10 共采取了几种变换将(1)变为)(4B的？

（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(k乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k倍加到另一方程上。且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）

20 在这三种变换下，(1)与)(4B是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换）

30 采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？

（阶梯形。其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32xx，表明3x(或2x)可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）

矩阵与线性方程组的数学模型和解法

矩阵与线性方程组的数学模型和解法

矩阵与线性方程组的数学模型和解法

矩阵和线性方程组是线性代数中常见的数学概念，广泛应用于各个学科领域，包括工程、科学、经济等。本文将介绍矩阵和线性方程组的数学模型以及常见的解法。

1. 矩阵的数学模型

矩阵是由数字排列成的矩形阵列。一个m×n的矩阵表示为：

[A] = [a_ij]

其中，a_ij是矩阵中第i行第j列的元素。矩阵按行数和列数分别称为行数和列数，即m×n的矩阵有m行n列。

2. 线性方程组的数学模型

线性方程组是一组以线性关系描述的方程组。形式如下：

a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1

a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2

......................

a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m

其中，x_1, x_2, ..., x_n是未知数，a_ij是系数矩阵的元素，b_1, b_2, ..., b_m是常数项。

3. 线性方程组的解法

解一个线性方程组的目标是找到一组满足所有方程的未知数值的解。下面介绍两种常见的解法：高斯消元法和矩阵求逆法。

a. 高斯消元法 高斯消元法是一种通过消元和回代的操作来求解线性方程组的方法。具体步骤如下：

Step 1: 构造增广矩阵[A|b]，其中A为系数矩阵，b为常数项矩阵。

Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为上三角矩阵。

Step 3: 从最后一行开始，利用回代法求出未知数的值。

b. 矩阵求逆法

矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的方法。具体步骤如下：

Step 1: 构造增广矩阵[A|I]，其中A为系数矩阵，I为单位矩阵。

Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为[I|B]，其中B为所求逆矩阵。

Step 3: 利用逆矩阵的性质，将常数项矩阵变换为解的矩阵。

4. 矩阵与线性方程组的应用

矩阵与线性方程组的解

矩阵与线性方程组的解

法。　矩阵与线性方程组的解　

刘青天　ｒ哈尔滨师范大学２０１１级统计二班，哈尔滨１５００００）　【摘要】本文分析和阐明了高等代数中用矩阵解线性方程组的问题，同时也简单地概括总结了ｎ阶行列式的计算方　【关键词】矩阵：线性方程组：ｎ阶行列式　一、方程　师徒共同加工一批零件，师傅加工　零件的个数是徒弟的四倍，师傅比徒弟　多加工１６２个零件．师徒二人各加工多　少个零件？　解：设徒弟加工零件ｘ　师嘞叮Ｉ４ｘ个。　４ｘ—ｘ＝１６２　３ｘ＝１６２　ｘ＝５４　这道题大家一定都会．这是一道典　型的小学的列方程求解的应用题。　（１）找出未知数，并用ｘ表示；　（２）找出应用题中的数量之间的相　等关系；　（３）解方程；　（４）检验。写出答案。　二、方程组　下面我们再来看一个方程组：　：Ｚ＝：：…　在一般情况下我们的解题思路就是　消元，把两个变量减少到一个变量，用第　二个方程减第一个方程得ｘ＝５．代入得　ｙ＝２．５。　三、ｎ元线性方程组　你是否遇到过这样的方程呢？　

其中ｘｌ，ｘ２＇ｘ３．．・ｘ　代表未知量，ａｉｉ（　１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ）代表未知量的系　数。这就是线性方程组的一般形式。线性　方程组的解指的是这样一组数（ｋｌ，ｋ　ｋ　，　…，ｋ　），用它们一次替代（２）中的未知量　ｘｌ＇ｘ：，Ｘ３－．・ｘ　后，（２）的每一个方程都变成　恒等式。　那我们在下面就主要是要弄明白以　下几个问题：　（１）判定一个方程组是否有解；　（２）在有有限解的情况下，确定解的　个数，并求出解来；　（３）在有无穷解的情况下，解与解之　间的关系。　四、二元线性方程组的矩阵解法　首先：含有两个未知量两个方程的　线性方程组我们可以这样来解：　｛　：　二：　：　二：　按照解（１）方程的步骤我们解得　｛二　二主彗釜　１一　善÷簪　我们记　一～　：：　则同样记　－　一　ａ　ｔ—ｌ：　皇Ｉ－　我们通过这个可以看出要想让这个　方程组有解，只需要　：２ｌ一　同理可知三元线性方程组的矩阵解法。　五、克拉默规则　下面．我们给出ｎ个未知量，ｎ个方　程的线性方程组的判别法：　克拉默（Ｃｒａｍｅｒ）规则：一个含有ｎ　个未知量ｎ个方程的线性方程组，当它的　行列式Ｄ≠０，方程组有且仅有一个解　一告　…告　一鲁。此处Ｄ；是把行列式Ｄ　的第ｉ列的元素换以方程组的常数项ｂ。，　ｂ　ｂ　一，ｂ　而得到的ｎ阶行列式。　六、ｎ阶行列式的计算　下面我们介绍几种ｎ阶行列式的计　算方法：　将用到以下命题及推论：　命题１行列式与它的转置行列式　相等。　命题２交换一个行列式的两行（或　两列）．行列式改变符号。　推论３如果一个行列式有两行　（列）完全相同，那么这个行列式等于零。　命题４把一个行列式的某一行　（列）的所有元素同乘以某一个数ｋ。等于　以数ｋ乘这个行列式。　推论５一个行列式中某一行（列）的　元素的公因子可以提到行列式符号的外边。　推论６如果一个行列式中有＿彳亍（列）　的元素全部是零，那么这个行列式等于零。　推论７如果一个行列式有两行　（列）的对应元素成比例，那么这个行列　式等于零。）　。　｝　。　ｉ　ｊ　兰ｆ。　－ｎ　…ａ—