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线性方程组

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第三章 线性方程组

§1消元法

现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为

.,,221122222212111212111snsnssnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa （1）

的方程组，其中n21x, ,x,x代表n个中未知量，s是方程的个数，

ija(i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数，jb(j=1,2,…,s)称为常数项。

方程组中未知量的个数与方程的个数s不一定相等。系数ija的第一个指标i表示它在第i个方程,第二个指标j表示它是jx的系数。

所谓方程（1）的一个解就是指由n个数nkkk,,,21组成的有序数组（nkkk,,,21），当解集合。如果两个方程组有相同的n21x, ,x,x分别用nkkk,,,21代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合。解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵

ssnssnnbaaabaaabaaa21222222112211 （2）

来表示。实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。

先看一个例子。

例如，解方程组

.522,4524,132321321321xxxxxxxxx

第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为

.42,241323232321xxxxxxx

第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得

.6,42,132332321xxxxxx

这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。

分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1．用一非零的数乘某一方程；

2．把一个方程的倍数加到另一个方程；

3．互换两个方程的位置。

于是，我们给出：

定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。

消元的过程就是反复地施行初等变换的过程。下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。我们只对第二种初等变换来证明。

对方程组

.,,221122222212111212111snsnssnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa (1)

进行第二种初等变换。为简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到另一个方程得到新方程组

.,,)()()(22112222212121212221212111snsnssnnnnnbxaxaxabxaxaxakbbxkaaxkaaxkaa (2)

现在设（nccc,,,21）是(1)的任一解，因 (1)和 (2)的后s-1个方程是一样的，所以（nccc,,,21）满足(2)的后s-1个方程。又（nccc,,,21）满足 (1)的前两个方程 .,2222212111212111bcacacabcacacannnn

把第二式的两边乘以k，再与第一式相加，即为

.)()()(21212221212111kbbckaackaackaannn

故（nccc,,,21）又满足(2)的第一个方程，因而是(2)的解。类似地可证(2)的任一解也是（1）的解。这就证明了（1）与(2)是同解的。

对另外两种初等变换由读者自己去证明。

下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。

对于方程组（1），首先检查x1的系数。如果x1的系数12111,,saaa全为零，那么方程组（1）对1x没有任何限制，1x就可以取任何值，而方程组（1）可以看作nxx,,2的方程组来解。如果1x的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设011a。利用初等变换2，分别地把第一个方程的－111aai倍加到第i个方程（i=2,…,s）。于是方程组（1）就变成

.```,``2`,12222221212111snsnsnnbxaxabxaxabnxnaxaxa

(3)

其中 ,`1111jiijijaaaaa I=2,…,s,j=2,…,n.

这样，解方程组（1）的问题就归结为解方程组

.```,```2222222snsnsnnbxaxabxaxa （4）

的问题。显然，（4）的一个解，代入（3）的第一个方程就定出1x的值，这就得出（3）的一个解；而（3）的解显然都 是（4）的解。这就是说，方程组（3）有解的充分必要条件为方程组（4）有解，而（3）与（1）是同解的，因之，方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。

对（4）再按上面的分析进行变换，并且这样一步步下去，最后就得到一个阶梯方程组，为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 .00,00,0,,,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc （5）

其中.,,2,1,0ricii方程组（5）中的“0＝0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不会影响（5）的解。而且（1）与（5）是同解的。

现在考察（5）的解的情况。

如（5）中有方程0＝,1rd而.01rd这时不管nxx,,1取什么值都不能使它成为等式。故（5）无解，因而（1）无解。

当1rd是零或（5）中根本没有“0＝0”的方程时，分两种情况：

1）r=n.这时阶梯形方程组为

.,,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc （6）

其中.,,2,1,0nicii由最后一个方程开始，11,,,xxxnn的值就可以逐步地唯一地决定了。在这个情形，方程组（6），也就是方程组（1）有唯一的解。

例1 上面讨论过的方程组，

.522,4524,132321321321xxxxxxxxx

经过一系列初等变换后，它变成了阶梯形方程组

.6,42,132332321xxxxxx

把63x代入第二个方程，得 .12x

再把63x，.12x代入第一个方程，即得 .91x

这就是说，上述方程组有唯一的解（9，－1，－6）。

2）r

,,,11,2211,222221111,11212111rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc

其中.,,2,1,0ricii把它改写成

.,,11,211,222222111,111212111nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc （7）

由此可见，任给nrxx,1一组值，就唯一地定出rxxx,,21的值，也就是说定出方程组（7）的一个解，一般地，由（7）我们可以把rxxx,,21通过nrxx,1表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而nrxx,1称为一组自由未知量。

例2 解方程组

.142,4524,132321321321xxxxxxxxx （8）

用初等变换消去1x，得

.2,2,13233321xxxxx

再施行一次初等变换，得

.21323321xxxx （9）

改写一下，

.2,1323231xxxx

最后得

.2),7(21321xxx 这就是方程组（8）的一般解，其中2x是自由未知量。

从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是（5）的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成（5）的样子。

应该看到，r>n的情形是不可能出现的。

以上就是用消元法解线性方程组的整个过程，总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程线，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话）去掉，如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非零的数，那么方程组无解，否则有解，在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解，如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解。

把以上结果应用到齐次线性方程组，就有

定理1 在齐次线性方程组

.0,0,02211222221211212111nsnssnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa

中，如果s

证明 显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程组个数不会超过原方程组中方程的个数，即

rs

由r

矩阵

ssnssnnbaaabaaabaaa21222222112211 （10）

称为线性方程线（1）的增广矩阵，显然，用初等变换化方程组（1）或阶梯形就相当于用初等变换化增广矩阵（10）成阶梯形矩阵。因而，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。

例 解

.042,4524,132321321321xxxxxxxxx

对它的增广矩阵作初等变换，

041245241312110021001312100021001312

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线性方程组的解法

线性方程组的解法

实验3 线性方程组的解法

1. 实验目的

学会利用Jacobi迭代法、Seidel迭代法、超松弛迭代法求解线性方程组。

2. 实验依据

（1）收敛性判定定理

定理1：对任意初始向量及任意向量f，由此产生的迭代向量序列 收敛的充要条件是。

定理2：若，则迭代公式收敛。

（2）Jacobi迭代公式：

Jacobi迭代的矩阵格式：

（3）Seidel迭代公式：

Seidel迭代

3. 实验步骤

Jacobi算法：

（1）给出矩阵A, b, x0

（2）计算

（3）

（4）若,则转到（5），否则，转到（3）

（5）输出y和n

Seidel迭代算法：

（1）给出矩阵A，b，x0

（2）计算，则有

（3）

（4）若，则转到（5），否则，转到（3） )0(X）（kX1）（B1||||BfBXXkk）（1nijjkiiijiiikinixaaabx1)()1(,...,2,1

(k+1)11= B(),f=bKJJJJXBXfDULD其中：111)()1()1(,...,2,1 ijnijkjiiijkjiiijiiikinixaaxaaabx(k+1)1-11= B(),f=()bKJJJJXBXfDULUDL其中：bDfLU1-1),(DBfBxy060.1||0||exybLDfULDB11)(,)(fBxy060.1||0||exy（5）输出y和n。

4. 数值计算

令

分别Jacobi迭代法、Seidel迭代法、超松弛迭代法求解线性方程组的近似解，并比较它们的渐进迭代收敛速度。

建立脚本文件

A=[25 -41 10 -6;-41 68 -17 10;-10 -17 5 -3;-6 10 -3 2];

b=[32;23;33;31];

线性方程组

线性方程组

线性方程组

一、三基与拓展

1 n元齐次方程组 0Ax (n为未知数的个数)的解系统

1）一定有解。

2）解的结构

rAn 有唯一零解；rAn 有nrA个线性无关的解向量，称为基础解系（它不是唯一的，一般取最简单的整数形式），它构成解的线性空间S（称为解空间），解得空间维度为RSnrA，它是一个极大无关组，0Ax的任何一个解都可以由他们线性表出，即

11220 inRAnRAAxxkkkk为不全为零的任意常数

3）解的性质

若12, 是0Ax的解，则1212, , kk也是0Ax的解。

陈氏第26技 RREF法全面解决0Ax和Axb的解。

4）求解0Ax的方法定势--- RREF法

① 将A化为简化行阶梯形（RREF），如有r个非零行，则基础解系中有nr个解

向量；

② 选非主元所在的列的对应的变量为自由未知量，共有nr自由未知量；

③ 将自由未知量表示为主元的线性叠加的，表示式中的系数为对应非主元列向量的负值，缺少的主元分别取nr个线性无关的单位向量10000100,,01之一，依次补满到n维向量，并把每一未知量的解向量全部元素化为互质整数，这样求得的nr线性无关的解就是基础解系。

⑤ 基础解系中nr个向量的线性组合就是所求的通解。 【例1】求下列齐次方程组的通解：

12341234123424530364204817110xxxxxxxxxxxx

解；RREF21201211724535536420010017748171100000000A只能行变换只能行变换最后所求的基础解系如下：

线性方程组的应用

线性方程组的应用

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。

为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种

1）一般形式的表示

11112211211222221122............nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb

2）向量形式：

1122...nnxxx

3）矩阵形式的表示 ：

,AX12,,...,nA12,,...,TnXxxx

特别地，当0时，AX称为齐次线性方程组，而当0时，AX称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组

2）非齐次线性方程组

二、线性方程组的应用

1.在经济平衡中的应用

假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分配见表1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例，能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业，10%分配到机械行业，余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必须等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用123,,ppp表示。试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。

表1-2 经济系统的平衡

产出分配 购买者

线性方程组 2

线性方程组 2

第六章 线性方程组

计划课时：20学时(P258-306)

§6.1 消元解法（4学时）

教学目的及要求：理解消元法即就是对增广矩阵作初等行变换，掌握线性方程组有解的判定

教学重点、难点：消元法解线性方程组，线性方程组有解的判定

本章内容分下面三个问题讲授：

一. 通过若干例子复习用加减消元法解线性方程组（P258例1-例3）．

二．用消元法解数域F上的一般线性方程组

,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa

得其解的情况（详见Ｐ261-264），从而得用消元法解线性方程组的方法（Ｐ264-267例4-例7）．

三．线性方程组有解的判定（Ｐ264定理6.1.2）．

注意：“定理6.1.2”是本章的一个基本定理，显示了矩阵在研究线性方程组的问题时的强大威力。

作业：P301 1（1），2，3，4。

*§6.2 应用举例

本节举出４个例子，涉及医学，商业等方面，这表明线性方程组理论的应用非常广泛．本节内容不作讲授，可要求学生自学．

例1计算机层析X射线照相术的问题。

例2 电视机品牌问题。

例3 游船问题。

例4 汽车位置问题。

§6.3 齐次线性方程组的解的结构（４学时）

教学目的及要求： 理解基础解系的定义及齐次线性方程组解的性质，掌握基础解系的求法。

教学重点、难点： 基础解系的求法及其存在性的证明

本节内容分下面三个问题讲授：

一．数域F上的n元齐次线性方程组 11112212112222112200 (1)0nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax

有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩小于n（P272 定理6.3.1）．

二．数域F上的n元齐次线性方程组(1)在F上的所有解向量构成nF的一个子空间